2.4　向量集合的变换

无论使用极坐标系还是笛卡儿坐标系，向量集合都会存储一些数据，参见前面画的那只恐龙。事实证明，当处理向量时，某种坐标系可能比另一种坐标系更好。我们已经看到，用笛卡儿坐标移动（或平移）向量集合很容易，而在极坐标中就不那么自然了。不过，由于极坐标包含角度信息，会使得旋转向量更为方便。

在极坐标中，角度的相加会使向量逆时针旋转，角度的相减会使向量顺时针旋转。极坐标(1, 2)的距离是1，角度是2弧度。（注意：如果没有角度符号，单位就是弧度。）从2弧度开始，加减1分别使向量逆时针或顺时针旋转1弧度（见图2-54）。

图2-54　加减弧度使向量绕原点旋转

同时旋转多个向量的效果是使这些向量代表的图形围绕原点旋转。draw函数只接收笛卡儿坐标，所以需要在使用它之前将极坐标转换为笛卡儿坐标。类似地，因为在极坐标中可以旋转向量，所以需要在执行旋转之前将笛卡儿坐标转换为极坐标。可以使用下面这个方法来旋转恐龙。

rotation_angle = pi/4
dino_polar = [to_polar(v) for v in dino_vectors]
dino_rotated_polar = [(l,angle + rotation_angle) for l,angle in dino_polar]
dino_rotated = [to_cartesian(p) for p in dino_rotated_polar]
draw(
    Polygon(*dino_vectors, color=gray),
    Polygon(*dino_rotated, color=red)
)

上面的代码让原来的灰色恐龙逆时针旋转π/4，得到了一只红色（书中为深灰色）的恐龙 （见图2-55）。

图2-55　原始恐龙和旋转后的恐龙

作为本节结尾的练习，你可以写一个通用的rotate函数，将向量列表旋转相同的角度。我将在接下来的几个示例中使用这个函数，既可以参考我在源代码中提供的实现，也可以自己实现一个。

2.4.1　组合向量变换

到目前为止，我们已经学习了如何平移、缩放和旋转向量。将这些变换应用于向量的集合，会对这些向量在平面上定义的形状产生同样的效果。当依次应用这些向量变换时，效果会非常惊人。

例如，我们可以先旋转恐龙，然后平移。使用2.2.4节练习中的translate函数和rotate函数，可以很方便地实现（见图2-56中的结果）。

new_dino = translate((8,8), rotate(5 * pi/3, dino_vectors))

图2-56　恐龙的旋转和平移

首先旋转，将恐龙逆时针旋转5π/3，也就是逆时针旋转大半圈。然后将恐龙向上和向右各平移8个单位。想象一下，适当地结合旋转和平移，可以将恐龙（或任何图形）移动到平面中任意需要的位置和方向。无论是在电影中还是在游戏中制作恐龙的动画，都可以通过向量变换灵活地移动恐龙。如此一来，就以编程的方式赋予了它生命。

我们不会只停留在画恐龙阶段，还有很多其他关于向量的操作等待我们去探索，比如泛化到更高维的操作。现实世界中的数据集通常有几十或几百个维度，所以我们也会对这些数据集应用类似的转换。对数据集进行平移和旋转，使其重要特征更加清晰，是非常有用的。虽然无法想象对100维的数据进行旋转操作，但可以先思考如何旋转二维数据。

2.4.2　练习

练习2.42：实现rotate(angle, vectors)函数，接收笛卡儿坐标向量数组，并将这些向量旋转指定的角度（根据角度的正负来确定是逆时针还是顺时针）。

解：

def rotate(angle, vectors):
    polars = [to_polar(v) for v in vectors]
    return [to_cartesian((l, a+angle)) for l,a in polars]

 

练习2.43：实现函数regular_polygon(n)，返回一个规则边形（即所有角和边长都相等）各顶点的笛卡儿坐标。例如，polygon(7)返回如图2-57所定义七边形的顶点向量。

图2-57　一个规则的七边形，其顶点围绕原点均匀分布

提示：在图2-57中，基于原点对向量(1, 0)进行6次均匀的旋转，从而得到了各个顶点。

解：

def regular_polygon(n):
    return [to_cartesian((1, 2*pi*k/n)) for k in range(0,n)]

 

练习2.44：先将恐龙按向量(8, 8)平移，再将其旋转5π/3（见图2-58），结果是什么？和先旋转再平移的结果一样吗？

解：

图2-58　先平移再旋转恐龙

结果并不一样。通常，以不同的顺序应用旋转和平移，会产生不同的结果。