2.3　平面上的角度和三角学

到目前为止，我们已经使用了两把“尺子”（称为轴和轴）来测量平面上的向量。从原点出发的箭头包含了水平和垂直方向上的可测量位移。实际上，与其使用两把尺子，还不如使用一把尺子和一把量角器。以向量(4, 3)为例，我们可以测量出它的长度为5个单位，然后用量角器确定方向，如图2-34所示。

图2-34　使用量角器测量方向

这个向量的长度为5个单位，方向为从轴正半轴逆时针旋转约37°。像原始坐标对一样，可以用一个新的数对(5, 37°)唯一地确定该向量。这种形式的坐标称为极坐标（polar coordinates），和我们到现在为止所使用的笛卡儿坐标（Cartesian coordinates）一样，能很好地描述平面上的点。

有时候，比如做向量加法时，使用笛卡儿坐标更简单；而其他时候，极坐标更实用，特别是进行向量旋转时。在写代码时，因为没有所谓的刻度尺或量角器，所以只能依赖三角函数。

2.3.1　从角度到分量

反过来思考一下：想象我们已经有了一个角度和一个距离，比如116.57°和3。这两者定义了一对极坐标(3, 116.57°)，那么，这个向量的笛卡儿坐标是什么呢？

首先，可以将量角器放在轴上并将刻度0对准原点，以确定向量的方向。从轴正半轴逆时针旋转116.57°，并在这个方向上画一条线（见图2-35）。向量(3, 116.57°)就在这条线上的某处。

图2-35　用量角器测量116.57°

然后用一把尺子，在这个方向上测量出一个距离原点3个单位的点。如图2-36所示，一旦找到这个点，就可以测量出向量的分量，得到近似坐标(-1.34, 2.68)。

图2-36　用尺子测量距离原点3个单位的点的坐标

116.57°这个角度并不是随机选择的，从原点开始沿着这个方向移动，每向左走1个单位，就会上升2个单位。大致位于这条线上的向量包括(-1, 2)和(-3, 6)，当然还有(-1.34，2.68)，这些向量的坐标长度是坐标长度的2倍（见图2-37）。

图2-37　向116.57°所表示的方向移动，每向左移动1个单位，就向上移动2个单位

在116.57°这个方向上，纵横坐标的比值恰好约等于-2。我们不可能总是幸运地得到一个整数的比值，但每个角度都对应一个固定的比值。图2-38展示了另一个角度，200°。它给出的固定比值为0.36，即每-1个水平单位对应-0.36个垂直单位。

图2-38　在不同角度下，每单位水平距离对应多少垂直距离

给定一个角度，该角度上向量的坐标将有一个固定的比值。这个比值叫作角的正切，正切函数写作tan。到目前为止，你已经看到了正切的几个近似值。

在这里，为表示近似相等，用符号≈而不是=。正切函数是一个三角（trigonometric1）函数，因为它可以用来测量三角形。目前我们还没有告诉你如何计算正切，只指出了几个值。不过Python内置了正切函数，很快就会介绍到，请不用担心。

1trigonometric中的trigon指三角形，metric指测量。

正切函数显然与我们最初的问题有关，即为给定角度和距离的向量寻找笛卡儿坐标。但它实际上并不给出坐标，只给出其比值。在这一点上，另两个三角函数很有帮助：正弦（sin）和余弦（cos）。从角度和距离的关系来看，角的正切等于垂直距离除以水平距离（见图2-39）。

图2-39　向量的距离和角度示意图

相比之下，正弦函数和余弦函数给出了向量的垂直距离、水平距离和整体距离之间的关系，其定义如下面的公式所示。

来看一个具体的示例（见图2-40）。对于一个37°的角，上面的点(4, 3)距离原点5个单位。

图2-40　用量角器测量(4, 3)和轴的夹角

在37°角的方向上每移动5个单位，就会垂直移动大约3个单位，所以：

在37°角的方向上每移动5个单位，就会水平移动大约4个单位，所以：

这是将极坐标转换为对应的笛卡儿坐标的一般方法。如果知道一个角（希腊字母theta，常用来表示角）的正弦和余弦，以及在该方向上的距离，则笛卡儿坐标为，如图2-41所示。

图2-41　图解直角三角形中极坐标到笛卡儿坐标的转换

2.3.2　Python中的三角学和弧度

让我们把三角学知识转化为Python代码：实现一个函数，接收一对极坐标（长度值和角度值）并输出一对笛卡儿坐标（分量和分量的长度）。

主要的问题是Python内置的三角函数与我们使用的单位不同。例如，我们期望，但Python给出结果却大不相同。

>>> from math import tan
>>> tan(45)
1.6197751905438615

Python不使用角度，事实上大多数数学家也不使用角度。他们使用弧度（radian）来替代角度，换算系数是：

1弧度 ≈ 57.296°

之所以这样，是因为一个特殊的数π，它的值约为3.141 59。正是它搭建了角度和弧度之间的桥梁。

π弧度 = 180°

2π弧度 = 360°

绕圆半圈的弧度为π，整圈的弧度是2π，分别与半径为1的圆的半周长和周长一致（见图2-42）。

图2-42　半周长的弧度是π，周长的弧度是2π

可以把弧度看作另一种比值：对于一个给定的角度，它的弧度值表明你已经绕过的半径数。正因为这种特性，弧度本身并没有单位。注意到45° = π/4（弧度），所以正确的处理方式应该如下所示。

>>> from math import tan, pi
>>> tan(pi/4)
0.9999999999999999

现在我们可以用Python提供的三角函数实现一个to_cartesian函数，接收一对极坐标并返回相应的笛卡儿坐标。

from math import sin, cos
def to_cartesian(polar_vector):
    length, angle = polar_vector[0], polar_vector[1]
    return (length*cos(angle), length*sin(angle))

利用这一点，可以验证沿着37°角的方向移动5个单位可以接近点(4, 3)。

>>> from math import pi
>>> angle = 37*pi/180
>>> to_cartesian((5,angle))
(3.993177550236464, 3.0090751157602416)

现在可以将极坐标转换为笛卡儿坐标了，下面来看看如何将笛卡儿坐标转换为极坐标。

2.3.3　从分量到角度

给定一对笛卡儿坐标，如(-2, 3)，可以使用勾股定理计算向量的长度，即。这是我们要找的极坐标对中的第一个坐标。第二个坐标是角度，可以用表示，指出这个向量的方向（见图2-43）。

图2-43　向量(-2, 3)指向的角度

为了得到，这里提供一些已知条件：，，。剩下的就是找到一个满足这些条件的值。你可以暂停一下，试试估算这个角度值。

理想情况下，我们希望有一种更有效的方法。如果有一个函数可以接收的值并返回，那就太好了。说起来容易做起来难，但Python的math.asin函数帮助我们实现了这一点。这是一个名为反正弦（asin）的反三角函数实现，能返回符合要求的值。

>>> from math import asin
>>> sin(1)
0.8414709848078965
>>> asin(0.8414709848078965)
1.0

到目前为止，没有什么问题。但角的正弦呢？

>>> from math import sqrt
>>> asin(3/sqrt(13))
0.9827937232473292

这个弧度对应的角度大概是56.3°，如图2-44所示，这个方向是错误的！

图2-44　Python的math.asin函数看起来返回了错误的角度

math.asin给出的答案并没有错，另一个点(2, 3)确实位于这个方向。它距离原点的长度是，所以这个角的正弦值也是。这就是为什么math.asin并不完美，因为不同角度可以有相同的正弦。

反余弦（acos）在Python中被实现为math.acos，可以用来求出正确的值。

>>> from math import acos
>>> acos(-2/sqrt(13))
2.1587989303424644

这个弧度对应的角度大约为123.7°，可以使用量角器确认是正确的。但这只是偶然，因为还有其他的角度可以给出相同的余弦。例如，(-2, -3)离原点距离也为，所以它所在的角度与的余弦同为。为了找到我们真正想要的的值，必须确保它的正弦和余弦与我们的期望值一致。Python返回的弧度约为2.159，满足这个要求。

>>> cos(2.1587989303424644)
-0.5547001962252293
>>> -2/sqrt(13)
-0.5547001962252291
>>> sin(2.1587989303424644)
0.8320502943378435
>>> 3/sqrt(13)
0.8320502943378437

反正弦、反余弦或反正切函数都不足以找到平面内某个点与轴正半轴的夹角。你在上中学的时候肯定学过如何找到正确的点，这里按下不表，直接切入正题——Python可以帮你完成这个工作。math.atan2函数接收平面上一个点的笛卡儿坐标（按相反的顺序）作为参数，返回对应的弧度。例如：

>>> from math import atan2
>>> atan2(3,-2)
2.158798930342464

抱歉之前卖了个关子，但这样做是为了让你了解使用反三角函数的潜在陷阱。总而言之，三角函数是很难反解的。多个不同的输入可以产生相同的输出，所以一个输出并不能对应唯一的输入。让我们完成一开始要写的函数：一个从笛卡儿坐标到极坐标的转换器。

def to_polar(vector):
    x, y = vector[0], vector[1]
    angle = atan2(y,x)
    return (length(vector), angle)

可以通过一些简单的示例来验证。to_polar((1,0))应该是轴正半轴上的1个单位，角度为0。事实上，该函数返回的弧度为0，长度为1。

>>> to_polar((1,0))
(1.0, 0.0)

（这里的输入和输出相同是巧合，它们的几何意义不同。）同样，我们也可以得到(-2, 3)的答案。

>>> to_polar((-2,3))
(3.605551275463989, 2.158798930342464)

2.3.4　练习

练习2.27：确认笛卡儿坐标(-1.34, 2.68)对应的向量的长度约为3。

解：

>>> length((-1.34,2.68))
2.9963310898497184

十分近似了！

 

练习2.28：图2-45中是一条从正半轴开始按逆时针方向旋转22°角的直线。根据图2-45，的近似值是多少？

图　2-45

解：直线经过点(10, 4)附近，所以4/10 = 0.4是的合理近似值，如图2-46所示。

图　2-46

 

练习2.29：转换问题的角度，假设我们知道了一个向量的长度和方向，想找到它的分量该如何做呢？一个长度为15的向量指向37°角，其分量和分量是多少？

解：37°的正弦值大约是3/5，表示沿这个角度每移动5个单位，就会垂直向上移动3个单位。所以，长度为15的向量的垂直分量为3/5·15，即9。

37°的余弦约等于4/5，表示在这个方向上每移动5个单位，就会水平向右移动4个单位，所以水平分量是4/5·15，即12。综上所述，极坐标(15, 37°)与笛卡儿坐标(12, 9)大致对应。

 

练习2.30：假设从原点出发，沿着从轴正半轴逆时针旋转125°的方向移动8.5个单位，那么最终坐标是什么？已知、，请画图来表示走过的角度和路径。

解：

图2-47显示了最终坐标为 (-4.879, 6.962)。

图　2-47

 

练习2.31：0°、90°和180°的正弦和余弦各是多少？换句话说，在这些方向上，每单位距离经过多少个垂直和水平单位？

解：对于0°，没有垂直距离，所以；而每移动1个单位的距离就经过轴正半轴方向上的1个单位，所以。

对于90°（逆时针转1/4圈），每移动1个单位的距离就经过轴正半轴方向上的1个单位，所以，而。

最后，对于180°，每移动1个单位的距离都经过轴负半轴方向上的1个单位，所以，而。

 

练习2.32：图2-48对于一个直角三角形给出了一些精确的测量数据。首先，确认这些长度在直角三角形中的有效性，因为它们必须满足勾股定理。然后，用图中的数据计算、和的值，精确到小数点后三位。

图　2-48

解：代入公式，证实这些边长确实满足勾股定理。

根据正弦、余弦和正切的定义，由边长的比例得出近似的三角函数值。

 

练习2.33：从另一个角度观察上一个练习中的三角形，用它计算、和的值，精确到小数点后三位。

解：旋转并镜像上一个练习中的三角形，这对它的边长和角度没有影响（见图2-49）。

图2-49　变换上一个练习中的三角形后得到的三角形

调换水平和垂直分量后重新计算，通过边长的比值得出60°角对应的三角函数值。

 

练习2.34：已知50°的余弦值是0.643。的值是多少，的值又是多少？通过画图来计算。

解：已知50°的余弦值是0.643，可以画出如图2-50所示的三角形。

图　2-50

也就是说，已知两个边长的比值：0.643/1 = 0.643。要找到未知边长，可以使用勾股定理。

在已知边长的情况下，，则。

 

练习2.35：116.57°对应的弧度是多少？用Python计算这个角的正切值，并确认它约等于-2。

解：116.57°·(1弧度/57.296°) ≈ 2.035弧度。

>>> from math import tan
>>> tan(2.035)
-1.9972227673316139

 

练习2.36：cos(10π/6)和sin(10π/6)的值为正还是为负？使用Python计算它们的值并确认。

解：一个完整的圆的弧度是2π，所以π/6是一个圆的1/12。可以想象成把一张比萨切成12块，从正半轴开始逆时针数，角10π/6表示只差两块就转完了。这说明它指向右下方，所以余弦应该是正值，而正弦应该是负值，因为这个方向的水平分量和垂直分量分别是正的和负的。

>>> from math import pi, cos, sin
>>> sin(10*pi/6)
-0.8660254037844386
>>> cos(10*pi/6)
0.5000000000000001

 

练习2.37：用下面的列表推导式创建1000个极坐标对应的点。

[(cos(5*x*pi/500.0), 2*pi*x/1000.0) for x in range(0,1000)]

在Python代码中，将这些点转换为笛卡儿坐标，并用线段依次将其连接起来，从而画出一幅画。

解：代码如下所示。

polar_coords = [(cos(x*pi/100.0), 2*pi*x/1000.0) for x in range(0,1000)]
vectors = [to_cartesian(p) for p in polar_coords]
draw(Polygon(*vectors, color=green))

结果是一朵五瓣的花，如图2-51所示。

图2-51　将1000个点连接而成的图是一朵花

 

练习2.38：通过“猜测检查法”（guess-and-check）找出(-2, 3)对应的弧度（见图2-52）。

图2-52　点(-2, 3)对应的弧度是多少

提示：显然答案在π/2和π之间。在这个区间内，正切的绝对值总是随着弧度的增大而减小。

解：这是一个在π/2和π之间进行猜测和检查的示例，找一个正切值接近-3/2 = -1.5的角。

>>> from math import tan, pi
>>> pi, pi/2
(3.141592653589793, 1.5707963267948966)
>>> tan(1.8)
-4.286261674628062
>>> tan(2.5)
-0.7470222972386603
>>> tan(2.2)
-1.3738230567687946
>>> tan(2.1)
-1.7098465429045073
>>> tan(2.15)
-1.5289797578045665
>>> tan(2.16)
-1.496103541616277
>>> tan(2.155)
-1.5124173422757465
>>> tan(2.156)
-1.5091348993879299
>>> tan(2.157)
-1.5058623488727219
>>> tan(2.158)
-1.5025996395625054
>>> tan(2.159)
-1.4993467206361923

结果肯定在2.158和2.159之间。

 

练习2.39：在平面上找到另一个与有相同正切值（即-3/2）的点。使用Python的反正切函数math.atan来求这个点的弧度值。

解：另一个正切值为-3/2的点是(3, -2)。Python的math.atan函数返回了这个点对应的弧度。

>>> from math import atan
>>> atan(-3/2)
-0.982793723247329

也就是顺时针方向转动不到1/4圈。

 

练习2.40：不使用Python，算出笛卡儿坐标(1, 1)和(1, -1)对应的极坐标。找到答案之后，使用to_polar来检查一下。

解：极坐标中，(1, 1)变成了，(1, -1)变成了。

两个向量之间的夹角是它们与轴所成角度的和或差。在下一个小项目中，会提高一些难度。

 

练习2.41（小项目）：如图2-53所示，恐龙嘴巴的夹角是多少？脚趾的夹角是多少？尾巴的夹角是多少？

图2-53　恐龙图形中一些可以测量或计算的夹角