第四节 全要素生产率变动的分解：规模变动与纯技术变动

在前面曾提到全要素生产率的内生化问题，也就是关于如何解释全要素生产率变动的问题。在前面的论述中已经指出，虽然全要素生产率的定义是总产出与总投入之比，但是这并不表明总产出与总投入就是解释全要素生产率变动的因素。实际上，总产出与总投入之比仅是度量全要素生产率水平的结果，而对该结果的解释则需要从与该生产有关的相关因素中去探寻。例如，在劳动投入中，或因劳动者素质提高而导致相同数量的劳动要素投入，可以生产出更多的产品；在资本投入中，或因引入了功能更强大的资本设备，而导致相同数量的资本投入对应有更高的产出。这些因素都可以通过影响产出而导致全要素生产率变动。因此，劳动者素质的提高或资本设备性能的增强，可以成为解释全要素生产率变动的原因。

一般而言，影响全要素生产率变动的因素是多方面的、复杂的，而不是单纯地提高劳动者素质或提高资本要素质量的问题。实际上，在下面的分析中将可以看到，无论影响全要素生产率的具体原因是什么、多么复杂，其效应可归为两类：一是规模效应，即投入的要素因影响生产的规模而影响全要素生产率；二是技术效应，即投入的要素因影响生产的纯技术而影响全要素生产率。这一结论意味着，全要素生产率的变动可以分解两部分因素变动的效应之和，即规模变动效应和纯技术变动效应之和。下面首先论述生产规模的基本概念，以及生产规模同全要素生产率基本关系等问题。在此基础上再论述纯技术变动及其效应等问题。

一 生产规模与全要素生产率的关系

1.何为生产规模？

实际上，生产规模与生产的要素投入规模是等价的概念。或者说，所谓的生产规模即指生产要素投入的规模，也就是有关生产要素投入数量多少的问题。例如，在某生产中投入1台设备进行生产，同投入1万台设备进行生产相比，这显然是两种不同的要素投入规模，由此体现了生产规模的不同。相应地，要素投入规模扩大即生产规模扩大，要素投入规模减小即生产规模减小，要素投入规模不变即生产规模不变。可见，考察生产规模与全要素生产率的关系，也就是考察要素投入规模与全要素生产率的关系。

2.生产规模变动影响全要素生产率的基本逻辑

如果问生产规模变动影响全要素生产率吗？对此问题的回答似乎并不是那么显然。然而，如果说技术因素变动与全要素生产率有关，这是相对容易理解的，因为技术因素变动结果本身就是体现技术水平的变动，而技术变动影响全要素生产率是容易理解的。例如，生产设备性能的改进，其本身就是技术水平提高的体现，与其对应的具体结果可能是提高投入产出率，因此具有提高生产率的效应。那么如何理解生产规模与全要素生产率之间的关系？

实际上，理解生产规模同全要素生产率之间的关系并不复杂，因为只需要明确生产规模同产出的关系即可。其逻辑关系是，因为全要素生产率是总产出与总投入之比，因此总产出变动必然影响到全要素生产率的变动。这意味着如果生产规模与产出有关，那么生产规模同全要素生产率必然有关。

而生产规模与产出的关系，在经济学中是已经有明确答案的。即，生产规模与产出不仅有关，而且存在着三种常见的关系，分别是规模收益不变、规模收益递增及规模收益递减。三种关系的具体定义如下：

（1）若将所有要素投入扩大相同的倍数，产出由此扩大的倍数等于要素投入扩大的倍数，则为规模收益不变（Constant Returns to S cale）；

（2）若将所有要素投入扩大相同的倍数，产出扩大的倍数大于要素投入扩大的倍数，则为规模收益递增（Increasing Returns to S cale）；

（3）若将所有要素投入扩大相同的倍数，产出扩大的倍数小于要素投入扩大的倍数，则为规模收益递减（Decreasing Returns to S cale）。

对上述三种生产规模与产出的关系，可用数学语言表述如下：设X表示要素投入，Y表示产出，投入与产出的关系有函数Y=F（X）表示。若对任意因子λ分别有下面的情况：（1）如果F（λX）=λF（X），则称该生产是规模收益不变的；（2）如果F（λX）＞λF（X），则称该生产是规模收益递增的；（3）如果F（λX）＜λF（X），则称该生产是规模收益递减的。

3.关于规模收益不变的经济意义

规模收益不变在经济学中是经常提到的问题。那么“规模收益不变”究竟有什么经济意义？为了能够比较直观地理解其意义，下面用假设的事例说明。假设有一个工厂生产面包，起初进行小规模生产，只投入2 名工人和1台设备，每小时可生产出面包200 公斤。后来工厂扩大生产规模，投入200名工人和100台设备，假设工厂的场地、能源及原材料供应等各种条件能够支持这样生产规模的扩大，使得每增加2 名工人和1 台设备，每小时都可以生产出200公斤面包。这种效应相当于对每投入2 名工人和1台设备，每小时即可生产出面包200公斤这种模式进行复制一样。因此，投入n倍的2名工人和1 台设备，每小时对应的产出数量即为n倍的200公斤，对此可标记为n×（2,1）→n×200。因此，当n≤100时的投入与产出的关系，便是规模收益不变的情况，即要素投入扩大n倍，产出相应扩大n倍。

如果生产所需的各种条件支持生产规模可以不断扩大下去，那么生产规模收益不变的情况就可以不断地持续下去。这意味着欲实现生产规模收益不变，需要生产空间和需求空间都要足够大，生产出来的产品都能够顺利实现销售，从而可以使得生产不断重复下去。然而，事实上在现实经济中生产规模是不可能无限扩大下去的，而最终必然被局限在一定的范围内。例如，当增加的工人数量和设备数量超过一定限度时，生产的场地变得十分拥挤，生产的管理趋于复杂化，从而使得边际投入的生产能力不断下降，一直下降到生产规模收益出现下降。

因此，总的来看，规模收益不变的场景主要适用于这样的经济：一是经济中的市场容量足够大，由此生产的规模可以按需要扩大，且可以保持原有的投入与产出的关系不变。二是在生产规模扩大的过程中，生产所需要的一切要素投入包括原材料等不构成生产的约束，即生产需要有多少投入就能有多少投入。显然，这种规模收益不变的情况实际上主要是理论层面的完全竞争的市场经济体。规模收益不变是相对的，规模收益变化则是绝对的。因此，规模收益不变是在特定的范围内才可能适用的。对此，不论是对一个企业、一个地区乃至一个国家，生产规模都是不可能无限扩大下去的。

问答7：规模收益不变的经济含义是什么？

规模收益不变是经济学中的一个专业名词。对应到现实经济中，规模收益不变的经济含义主要是：（1）生产具有可加性。规模收益不变的生产过程和生产行为，形象地说是可以不断复制下去的。如一台设备单位时间可生产10件产品，则投入n台设备单位时间可生产n×10件产品。这时的总产出是所有生产的产出数量的代数之和。（2）生产技术关系不变。规模收益不变下的产出与要素投入的技术关系不变，并且这种技术关系的不变性是不受生产规模变化及外部环境变化影响的。（3）生产的产品需求市场空间足够大。由于市场对产品的需求足够大，使得相关生产活动可以按需要扩大，而投入与产出的关系不受影响。实际上，规模收益不变是生产过程中一种特定阶段，是生产有关的各方面关系相对稳定的阶段，在此阶段中生产的产出数量主要取决于要素投入的数量。规模收益不变主要是经济理论上的一种假设，现实经济中并不存在永恒的规模收益不变，其中技术创新是打破规模收益不变的重要方式。

二 全要素生产率增长率的内生化分解公式

上述的分析旨在表明生产规模对全要素生产率是有影响的。由于生产规模即为要素投入规模，因此可以说要素投入的数量规模的变动是影响全要素生产率的因素之一。而此结论在经济学上的一个重要意义是，可以假定全要素生产率是要素投入的函数。

假定全要素生产率与生产要素投入有关是有现实意义的，是合乎道理的。这是因为，在现实经济中的任何生产都不是凭空进行的，都必然是通过一定的要素投入才能得以实现。而要素投入的变化既有数量的变化，也有质量的变化。要素投入质量提高的效应，一个主要表现是在要素投入数量不变甚至减少的情况下，生产过程中却依然可以实现产出数量的增加。如在现实经济中，从事农业生产活动的劳动者数量不断减少，然而农业产出水平依然不断提高，这便是农业中的总体要素投入质量提高的效应，或者说是农业技术进步的结果。因此，技术的效应是通过投入的要素的效应体现的。

为了便于理解，下面讨论含有两类生产要素投入的生产情况，即假定生产中的所有要素投入可划归为资本投入K和劳动投入L两类。对含有n类要素投入的情况讨论，将在后面章节进行。设A表示一定生产的全要素生产率，K表示资本投入、L表示劳动投入，T表示时间。于是，A是技术水平系数，其水平是通过要素K和L对产出的影响而体现的，并且这种影响随时间变化而变化，因此可以假设A是K、L和T的函数，且要素投入也随时间T的变动而变动。因此，全要素生产率A可以表示为下面的函数形式：

（2-7）式表明，全要素生产率A不仅受资本投入K与劳动投入L的影响，同时也受时间T的影响。

时间变量T出现在（2-7）式中有重要的意义，即意在体现纯技术因素。对此可以这样理解：如果在（2-7）式中K和L不随时间变化，但是A却随时间变化，则此效应必然是来自纯技术因素变动的效应，并且T是包括了所有技术因素变动的效应。这里需要特别强调如何理解“T是包括了所有技术因素变动的效应”这句话的含义。即，T实际上代表了任何影响技术的因素，而这种影响技术的因素可能是难以区分清楚的。

假定A的对数关于时间T是可导的，于是对（2-7）式两边取对数，然后再对两边关于时间T求导，即得到下面的关系式：

（2-8）式即是全要素生产率增长率的内生化分解公式。在（2-8）式中出现了，是因为假设A与时间T有关。如果假设A与时间T无关，则有，即在此情况下（2-8）式将不出现项。

（2-8）式是一个具有重要经济意义的方程式，即表明了全要素生产率增长率可以分解为两类效应之和。为了清楚地展现所说的两类效应，可将（2-8）式标记为下面的形式：

即在（2-8）式中，体现的是要素因素类别的效应，则体现的是技术因素类别的效应。为了论述方便，现将记为AKL，即有下面的表达式：

于是（2-8）式可以写成下面的形式：

这时，（2-10）式以及前面的（2-8）式都是全要素生产率增长率的内生化分解公式。而在下面的分析中将可以看到，在（2-8）式中，体现的是纯技术因素变动的效应，AKL体现的则是技术因素对要素投入规模变动的效应。

三 为纯技术变化率，体现纯技术因素对全要素生产率增长率的影响

应注意到，在（2-10）式中有和这两项。显然，从数学上看，这两项的意义是全然不同的。即在数学上为全导数，而为偏导数。

先分析的意义。显然，在数学上是A的对数关于时间T的偏导数，其意义是除了时间变量T变动外，与A有关的其他变量都保持不变情况下，A的对数关于时间T的导数。对此，从现实意义上看，如果除了时间以外的其他相关变量均没有变化，而全要素生产率却随着时间的变动而变动，则此效应自然可以理解为是纯技术因素变动的效应。因此，将视为纯技术变化率是合适的。于是，称为纯技术变化率，或称为纯技术进步率。纯技术进步率是一种狭义的技术进步率，这是因为纯技术变化率体现的是除时间变动外，其他因素都不变动情况下的技术变化率。

再来看的意义。是A的对数关于时间T的全导数，体现的是全要素生产率A的增长率。因为是关于时间T的全导数，因此表明该增长率包含了导致A变动的所有因素的效应，其中也包括时间T变动的效应。根据（2-10）式可知，可分解为AKL与两项之和，即表明是构成的一个部分。这意味着纯技术变化率，或者说是纯技术进步率，是全要素生产率增长率的一个组成部分。这也表明纯技术进步率不完全等同于全要素生产率增长率，相差的部分是AKL。相对于纯技术变化率为狭义技术进步率而言，全要素生产率增长率是一种广义的技术进步率。

问答8：全要素生产率增长率和纯技术变化率的数学表达式分别是什么？

如果设A为全要素生产率，T表示时间，则为全要素生产率增长率的数学表达式。即，全要素生产率增长率在数学上是全要素生产率的对数关于时间变量的全导数。全要素生产率增长率包含了导致A变动的所有因素的效应。纯技术变化率的数学表达式为。即，纯技术变化率在数学上是全要素生产率的对数关于时间变量的偏导数，其意义是除了时间变动外其他有关因素状态值都不变情况下的全要素生产率对数关于时间变量的导数。如果除时间变量以外的其他相关变量值均不变，全要素生产率仅随时间变动而变动，则此效应就是纯粹的技术因素变动的效应。

四AKL为技术规模变化率，体现技术因素影响生产规模变动进而对全要素生产率增长率的影响

下面分析AKL所体现的意义。AKL的表达式是由（2-9）式定义的。在下面的分析中可以看到，尽管AKL的表达式在形式上是比较复杂的，但是该表达式的经济含义是非常明晰的。

首先，，其中的为资本投入增长率，为劳动投入增长率，如果将和视为权重，则AKL体现的是各要素投入数量增长率的加权和。可见，AKL的本质意义是体现要素投入数量的增长率，只是AKL不是各要素投入数量增长率的直接加总，而是一种加权和。显然，要素投入数量的变动，即等同于要素投入规模的变动，也就是生产规模的变动。因此，也可以说AKL体现的是技术因素影响生产规模变动进而对全要素生产率增长率的影响。

其次，的经济意义是全要素生产率A关于资本投入K的弹性系数，是全要素生产率A关于劳动投入L的弹性系数。全要素生产率的要素弹性系数的意义是：当要素投入增长1%时，相应的全要素生产率变动的百分数。可见，这两个弹性系数体现的是要素投入规模变动对全要素生产率的影响。

为此，记，并称为全要素生产率资本弹性系数，简称为技术资本弹性系数；记，并称为全要素生产率劳动弹性系数，简称为技术劳动弹性系数。于是，AKL可以表示为下面的形式：

在（2-11）式中，γK为资本投入增长率的权重，γL为劳动投入增长的权重。这两个权重的作用是，体现技术因素对要素投入规模的影响，即γK体现的是技术因素对资本投入规模的影响，γL体现的是技术因素对劳动投入规模的影响。从而要素投入规模变动对全要素生产率产生影响。于是，AKL体现的是技术因素影响各要素投入规模变动进而对全要素生产率的综合影响，因此称AKL为全要素生产率规模变化率。由于全要素生产率体现的是技术水平，AKL体现的是生产规模变动对全要素生产率的影响，因此亦可称AKL为技术规模变化率。技术规模变化率的含义是：技术因素对要素投入规模的影响度。

通过以上的分析可见，在生产过程中不仅产出变动存在着规模效应问题，全要素生产率变动或者说总体技术水平变动同样受规模变动的影响，而这种规模变动是来自技术因素对要素投入规模的影响而产生的。从这个意义上讲，生产规模本身也是影响生产技术水平的因素，其中AKL就是度量生产规模变动对全要素生产率（总体技术水平）影响的具体指标。

五 全要素生产率增长率是技术规模变化率与纯技术变化率之和

综上所述，根据（2-8）式或（2-10）式可见，全要素生产率的变动可分解为要素投入的规模变动效应以及纯技术因素变动效应之和。即，将（2-8）式或（2-10）式用语言表述的意义是：

其中，技术规模变化率的表达式为，纯技术进步率表达式为。

同时，由（2-8）式表现的全要素生产率增长率的内生化分解公式，可以表示为下面的形式：

在（2-13）式中，，为技术资本弹性系数；，为技术劳动弹性系数。因此，（2-13）式表明在只含有资本和劳动两种要素投入的生产中，全要素生产率增长率是资本规模变化率、劳动规模变化率和纯技术变化率三类因素效应之和。（2-13）式的经济含义是：

问答9：什么是广义技术进步率和纯技术进步率？

在理论上，由于全要素生产率本质上是对总体技术水平的度量，因此全要素生产率增长率即可视为技术进步率。同时由于全要素生产率体现的技术是非具体的、抽象的和总体性的，因此全要素生产率增长率实际是一种广义技术进步率。为此，广义技术进步率是全要素生产率增长率的另一名称。如果设A为全要素生产率，T表示时间，则全要素生产率增长率的数学表达式也是广义技术进步率的数学表达式。相应地，纯技术变化率也可称为纯技术进步率，其数学表达式是，体现的是全要素生产率增长率中仅随时间因素变动而变动的效应部分。研究结果表明，全要素生产率增长率可分解为技术规模变化率和纯技术进步率二者之和，因此纯技术进步率是广义技术进步率中的一部分。相对于广义技术进步率，纯技术进步率是一种狭义技术进步率的概念。