第三节 经济增长率与全要素生产率增长率关系公式

宏观经济层面的全要素生产率增长率，同经济增长率有着直接的关系。正因为如此，度量全要素生产率的增长率，而不是度量全要素生产率的绝对水平，成为生产率研究的一个至关重要的核心问题。

一 为什么全要素生产率增长率更受关注

在全面展开全要素生产率相关问题分析之前，有必要明确为什么度量全要素生产率增长率，而不是度量其绝对数量值的水平，是相对更为重要的问题。有关原因如下：

第一，基于经济增长分析的需要。在经济增长分析中，人们对经济增长率的关注，通常高于对经济总量的关注。这是因为在经济增长方面，人们通常更关注增长的幅度。增长率的信息比总量的信息相对更容易识别和比较。例如，如果资料显示 A 地区2017年GDP 为2万亿元，2018年为2.2万亿元，则据此信息是难以很快得出对该地区经济增长状况的评判的。但是，如果说2018年A地区按可比价格计算的GDP比上年增长10%，则此信息对该地区经济增长状况的表述是清晰明了的，据此容易得出该经济增长是快或慢的判别。

第二，全要素生产率增长率是经济增长率的直接组成部分。在后面的有关推导中可以看到，全要素生产率增长率是经济增长率的直接组成部分。这意味着全要素生产率增长率的变动，本身就是经济增长率的变动。因此，全要素生产率增长率的状况，可直接用于经济增长源泉的分析。

第三，基于计算可行性的需要。虽然全要素生产率的定义是总产出与总投入之比，即定义的形式是简单的，但是要实际测算这个比值，特别是测算宏观经济层面上的这个比值，则通常是非常困难甚至是无法实现的。这种困难主要是来自对总产出与总投入度量的困难。相比较而言，测算全要素生产率的增长率，而不是绝对数量值的水平，则是相对容易的。目前已经有较多的测算全要素生产率增长率的方法，而测算总产出与总投入的方法则是很不够的。特别是在理论上可以证明，全要素生产率增长率的计算结果与总产出和总投入的度量无关。关于此结论的证明，可参见本书第五章的有关内容。

第四，基于横向对比分析的需要。如果测算全要素生产率的绝对数值，其结果受许多因素的影响，从而使其可比性变得相对较差。例如，不同国家或地区由于在地域面积、人口规模、资源禀赋以及经济发展阶段性等诸多方面或存在着巨大的差异，因而导致全要素生产率的绝对数值的可比性较差，甚至是完全不具有可比性。例如，发达国家的全要素生产率的绝对水平（体现的是总体技术水平），毫无疑问地必然显著高于贫穷落后的国家，否则所谓的发达国家就不是真正的发达国家了。因此，比较发达国家和贫穷国家的全要素生产率的绝对数值水平是没有意义的。但是，比较不同国家的全要素生产率增长率的数值结果则是可行的，是有可比性的。这是因为增长率比较的是快慢，因此在全要素生产率增长率指标上，发达国家低于贫穷落后国家的情况是可能的，即贫穷国家在增速方面快于发达国家是可能的。实际上，对不同经济体的全要素生产率增长率进行比较分析，有助于识别不同经济体的经济增长方式特点以及动力源泉等特征，由此可以取得不同的经济增长的经验。

第五，增长率形式可以通过转化为指数的形式，以间接的形式体现绝对数值的情况。增长率转变为指数形式的一种基本思路是将各期的增长率转变成相对于基期的指数，由此可以通过间接的方式体现全要素生产率的绝对水平。

由增长率转变为绝对数形式的指数，可按下面提供的方法进行：设ai为i期变量A的增长率，其中i=0,1,2,…,n。现设第0期为基期，并假定基期的绝对水平为1。于是，第1期的绝对数值是在第0期的基础上增长a1，因此第1期的绝对数值为（1+a1）。同样，第2期的绝对数值是在第1期的基础上增长a2，因此第2期的绝对水平值为（1+a1）（1+a2）。如此下去，第i期的绝对水平值为（1+a1）（1+a2）…（1+ai）。通过此方法可将增长率转变为绝对数值形式的指数。上述表述的过程可用表2-1排列的方式直观体现：

可以看到，上面排列中的指数列是依次连乘的关系，即形成 {1,（1+a1）,（1+a1）（1+a2）,…,（1+a1）（1+a2）…（1+ai）,…} 的序列。这个序列是以指数为绝对值形式的数据。由于基期的指数为1，其他各期指数同基期相比较，便容易得到对指数体现的绝对数量水平的判断。

二 经济增长率与全要素生产率增长率关系公式的推导

下面从全要素生产率的定义出发，开始进行全要素生产率的经济学分析。如前面所述，全要素生产率的定义是总产出与总投入之比。因此，设A表示全要素生产率，Y表示一定生产的总产出，Z表示为了生产Y总投入，则A为下面的表达式：

现假定A、Y和Z各变量的对数存在（对此只需各变量的数值大于零），并且都是关于时间T可导。于是，由（2-1）式可以转换为下面的关系式：

对（2-2）式两边取对数，即得到下面的关系式：

再对（2-3）式两边关于时间T求导，得到下面的关系式：

（2-4）式即是体现了经济增长率与全要素生产率增长率关系的公式。

为了进一步说明该公式的经济含义，需要明确及 三项表达式的经济含义。基于数学知识可知，这三项表达式的经济含义分别是变量Y、A和Z的增长率。对此有如下的解释：

在数学中，dY表示变量Y的微分，即Y的微小变化量。同样，dT表示变量T的微分。于是，为Y关于时间T的变化率，也就是Y关于时间T的导数。而的意义则是相比较于Y的相对变化率，也就是 为变量Y的增长率。由于在数学上可以转换为的形式，因此变量Y的增长率即为。事实上，是变量Y的增长率的一种精确定义式。同理，和分别为变量A和变量Z的增长率。

因此，根据以上所述可知（2-4）式中的 为总产出增长率。总产出增长率在宏观经济层面即为经济增长率。相应地，为全要素生产率增长率，为总投入增长率。这意味着（2-4）式的经济含义是：总产出增长率（经济增长率）等于全要素生产率增长率与总投入增长率之和。对此，可用文字表述（2-4）式的经济含义如下：

因此，（2-4）式或（2-5）式就是经济增长率与全要素生产率增长率关系公式。显然，（2-4）式或（2-5）式表明，全要素生产率增长率是经济增长率的直接组成部分，进而表明全要素生产率增长率的变动直接影响经济增长率的变动。将（2-5）式表示为（2-6）式的形式：

在（2-6）式中，第一项即全要素生产率增长率同经济增长率之比，体现了全要素生产率因素对经济增长率的贡献率。第二项即总投入增长率同经济增长率之比，体现了总投入因素对经济增长率的贡献率。这两项贡献率之和为1，即表明由生产方面决定的经济增长率最终归结为来自全要素生产率增长率的贡献以及总要素投入增长率的贡献，也就是全要素生产率和要素投入是经济增长的根源。事实上，正是基于（2-5）式或（2-6）式所表明的关系，使全要素生产率增长率的测算与分析成为探究经济增长动力源泉的重要渠道。

三 区分全要素生产率与全要素生产率增长率的不同

提出全要素生产率与全要素生产率增长率不同的问题，是因为在实际应用中经常出现将全要素生产率与全要素生产率增长率混为一谈的情况。显然，如果注意到了全要素生产率与全要素生产率增长率的区别，则二者之间的不同是不言自明的。如果设A为全要素生产率，则全要素生产率增长率是关于全要素生产率的时间变化率，因此全要素生产率与全要素生产率增长的不同是显然的。如果从数学上看，若A为全要素生产率，并假设A的对数关于时间T是可导的，则全要素生产率增长率为。显然，A与的区别是一目了然的。

然而，在现实中经常出现将全要素生产率和全要素生产率增长率相混淆的情况，误把全要素生产率增长率当作全要素生产率对待。如常见的一种错误表述是：全要素生产率是产出增长率扣除各要素投入的增长率后的余值。因此需要再次指出：全要素生产率是一种比率，不是“余值”，所谓的“余值”是有关全要素生产率增长率的问题，不能混为一谈。出现这种情况的一个原因是，在当前经济学教材中关于全要素生产率问题的引入并不统一，有些是直接从全要素生产率增长率开始谈全要素生产率问题的，如通常从“索洛余值”问题引入。甚至在一些教材中自始至终都没有提到全要素生产率的定义是什么，以至于有些人误以为全要素生产率增长率就是全要素生产率。

所谓“索洛余值”是指经济增长率与加权要素投入增长率之和的差值。在生产规模收益不变的条件下，这一差值等于全要素生产率增长率。这是由美国经济学家索洛（1957）发现并提出的，由此将经济增长率与加权要素投入增长率之和的差值即“余值”，在经济学中被称为“索洛余值”。而事实上，如果没有生产规模收益不变的条件，“索洛余值”并不是全要素生产率增长率。对此问题，本书将在后面有关部分再进行详细介绍。

问答6：经济增长的两个根源是什么？

要素投入和全要素生产率是经济增长的两个根源。这是基于经济学中经济增长率等于总投入增长率与全要素生产率增长率之和的公式所得到的结论。即该公式表明，经济增长率变动来自两个方面的因素：一是来自要素投入的变动，二是来自全要素生产率的变动。对此，主要基于要素投入数量变动的经济增长模式可称为要素驱动型，亦可称规模扩张型或外延扩张型；主要基于全要素生产率变动的经济增长模式可称为技术进步型，或称内涵扩大型。在现实经济中，令经济学家们感兴趣的问题是：要素投入与全要素生产率究竟哪个对经济增长的作用更大？为此，对此问题的回答成为经济学中的一个重要研究领域。而根据美国哈佛大学教授乔根森（Jorgenson,1995）的研究结果表明，“二战”后美国经济增长主要是依靠投资增长实现的，以日本为代表的亚洲经济增长模式更是依赖于投资。现有文献成果表明多数是支持乔根森这一研究结论的。可见，提高全要素生产率对经济增长的促进作用，在现实经济中依然是需要倍加努力才有可能实现的目标。