2.3 流体动力学
在现代过程工业生产中，经常遇到的不仅是静止的流体，更多的是流动着的流体，而且多是在密闭的管路中流动。流体在管路内流动时，其位置、流速和压力都在变化。本节将研究流体在管内流动时，这些物理量变化的规律，以及如何应用这一规律解决有关的实际问题。
2.3.1 流量与流速
（1）流量（即流率）
流量是指流体在单位时间内流过管道任一截面的流体量。流体量用体积来计量的流量称体积流量，记作Vs，单位是m3/s。流体量用质量来计量的流量称质量流量，记作ws，单位是kg/s。体积流量和质量流量的关系为：
ws=Vsρ （2-18）
式中 ρ——流体的密度，kg/m3。
（2）流速
流速是指流体在单位时间内、在流动方向上所流经的距离。这里的流速是指流体在导管整个截面上的平均流速。至于导管截面不同位置上各流体质点的速度，由于摩擦等原因是不同的，越靠近管壁越小，而中心处最大。流速用符号u表示，单位是m/s。
显而易见，流量与流速的关系为：
（2-19）
式中 A——导管的横截面面积，m2。
从式（2-19）可看出流速为单位时间、单位面积通过的流体体积。按传递工程的理论，它反映了传递流体量的强度，故又称流速为体积通量。
将式（2-19）代入式（2-18），得到流速与质量流量的关系为：
ws=uAρ （2-20）
对于气体，其体积流量随温度和压力的变化而改变，气体的流速也就要随其改变，而采用质量流量和相应的质量流速就较为方便。
质量流速（又称质量通量）是指流体在单位时间内流过管道单位横截面积的质量，记作Gs，单位是kg/（m2·s）。即：
（2-21）
2.3.2 稳定流动与不稳定流动
（1）稳定流动
稳定流动是指流体在管路中流动时，任一截面处的流速、压力和密度等有关物理量不随时间而变化的流动状态。
如图2-5所示，水从上部进水管不断向水槽注水，下部排水管不断有水排出，当进水量大于排水量时，多余的水将从溢流管流出，水槽内的水位保持恒定。此时，排水管任一截面上流体的流速、压力均不随时间而改变，这种情况就称为稳定流动。
（2）不稳定流动
不稳定流动是指流体在管路中流动时，在任一截面处的流速和压力等物理量既随位置变化、又随时间变化的流动状态。
将图2-5中所示的进水管关闭，则水槽水位将随排水管连续放水而不断降低。此时，排水管任一截面处的流速和压力不但随位置变化，还随时间变化，这时排水管中流体的流动状态就属于不稳定流动。
图2-5 稳定流动
2.3.3 流体流动的物料衡算
在稳定流动的管路中，对直径不同的管段作物料衡算。如图2-6所示，流体自截面1—1流入，自截面2—2流出。在流动过程中，各截面的速度和压力均不随时间改变。若以截面1—1和2—2划定物料衡算范围，并把流体视为连续介质，即流体充满管道，根据质量守恒定律，物体的质量在流动过程中，既不会增加又不会减少，那么流经各截面的质量流量应该相等，即：
图2-6 物料衡算方程的导出
ws1=ws2
因为：
ws=uAρ
上式可改写为：
u1A1ρ1=u2A2ρ2
因为截面1—1和2—2是任取的，故可推广为任一截面，则有：
ws=u1A1ρ1=u2A2ρ2=uAρ=常数 （2-22）
式（2-22）通常称为流体在管道内作稳定流动时的连续性方程式。
对于不可压缩的液体的稳定流动，其密度为定值，则式（2-22）可写为：
Vs=u1A1=u2A2=uA=常数 （2-23）
对圆形截面的管道，有：
A=πd2/4（d为管道内径）
式（2-23）则可写为：
（2-24）
或
（2-24a）
即流速与管径的平方成反比。
如果管路有分支，则根据质量守恒定律可知，总管路的质量流量为各分支管路的质量流量之和。
【例2-9】 水泵的吸入导管为ϕ108mm×4mm，出水管为ϕ76mm×2.5mm，若水在出水管的流速为3m/s，求水在吸入管中的流速。
解 根据
已知：
u2=3m/s
d1=108-4×2=100（mm）
d2=76-2.5×2=71（mm）
所以：
2.3.4 流体流动的能量衡算
根据能量守恒定律，能量既不会自行产生，也不会自行消失，只能从一种形式转换成另一种形式。伯努利方程是说明流体在管道中作稳定流动时，流体具有的机械能、外加能量和因摩擦损失的能量之间进行转换的规律的方程。
2.3.4.1 流体流动时具有的机械能
流体流动时具有的机械能有三种形式：位能、动能和静压能。
（1）位能
流体在重力作用下，因相对位置的高低不同而具有的能量称为位能。较高处流体的位能大，较低处流体的位能相对较小。也就是说：流体从较高处流至较低处时，要减少一部分位能，转换成其他形式的能量；而流体从较低处流至较高处时，需要一部分其他形式的能量转换成位能。这部分能量在数值上等于把流体从较低处升至较高处所需的功。为了计算方便，通常选一基准水平面，处在该面上的流体其位能为零，高于该面的流体位能大于零，低于该面的流体其位能小于零。
设有质量为m的流体，其质量中心距基准面高度为Z，其位能应为：
位能=mgZ=GZ（J） （2-25）
式中 G——流体重量，N。
（2）动能
流体流动时，由于有一定的速度而具有的能量称为动能。当流体的流速为 u时，质量为m的流体的动能为：
（2-26）
（3）静压能
流体流动时，因其内部具有一定的静压力而具有的能量称静压能。静止的流体内有静压力，而流动的流体内同样有静压力，这一点可由图2-7所示的实验证实。在流动着液体的管壁上方垂直安装一细玻璃管，立刻可以看到细管内升起一定高度的液体，使这部分液体升起的能量即是静压能。静压能在数值上等于在此静压力作用下，推动流体所做的功。
图2-7 流动流体静压力的表现
1—导管；2—细玻璃管
设体积为V（m3）、质量为m（kg）的流体，在静压力p（Pa）的作用下，于截面积为A（m2）的管路中，通过了L（m）距离，则：
（2-27）
因为：
总机械能=位能+动能+静压能
即：
（2-28）
或
（2-28a）
若以单位质量的流体为计算基准，即m=1kg，那么单位质量流体所具有的总机械能为：
（2-29）
式（2-29）中各项的单位是J/kg，含义分别是每千克质量的流体具有的总机械能、位能、动能和静压能。
2.3.4.2 伯努利方程式
流体在管路中流动时，除内部各种机械能在不同条件下互相转换外，尚需考虑驱动流体的输送设备（如泵、压缩机等）对流体所做的功和由于流动的流体有摩擦力而消耗的能量（这部分能量转换成热能损耗掉了）。
实际输送流体的过程，需要流体输送机械对流体做功才能实现。所做的功除部分损失外，其余的在流体中转换成不同形式的机械能。输送机械对流体所做的功称为外加功或有效功，将1kg质量流体自输送机械获得的能量记作ws（J/kg）。
流体流动时，克服阻力而消耗的部分流体内部的能量称能量损耗，而1kg质量流体的流动阻力记作hf（J/kg）。
在图2-8所示的流体输送系统中，研究从1—1截面到2—2截面的稳定流动的流体系统。按照能量守恒定律，输入该系统的能量应等于从该系统输出的能量。以单位质量的流体为基准，输入系统的能量为：
图2-8 稳定流动时伯努利方程式的推导
从系统中输出的能量为：
而
e1=e2
所以：
（2-30）
式（2-30）即为流体做稳定流动时，反映流体能量守恒的伯努利方程式。
对于不可压缩流体，如液体，可看成ρ1=ρ2=ρ，则式（2-30）可改写为：
（2-31）
2.3.4.3 伯努利方程式的讨论
若流体流动时不产生阻力（如理想气体），即hf=0，且又无外功加入，则式（2-31）可写为：
（2-32）
式（2-32）说明流体在管道任一截面上，各项机械能之和即总机械能为一定值，但对某一种机械能来说，在不同截面上的数值不一定相等，一般来说各种形式的能量之间可进行相互转换。下面对不同形式的能量间的相互转换进行简单的讨论。
（1）位能
位能仅随截面位置的高低而变化。若所研究的为一水平管道，即Z1=Z2，则式（2-32）可简化为：
上式说明在水平管道中，动能的增加等于静压能的减少。
若所研究的管道不是水平管道，即管道上不同位置的截面其空间高度不同，则处在各截面上流体的位能随高度的变化而增减，位能变化所消耗或放出的能量视不同情况与动能或静压能进行转换。下例即为位能转换成动能的实例。
【例2-10】 如图2-9所示，由高位槽向一敞口设备供水，已知管径为ϕ114mm×4mm，水在管道中能量损失约为58.8J/kg，要求供水量为1m3/min，求高位槽所设置的高度。
图2-9 【例2-10】附图
解 设高位槽液面为1—1截面，出水口为2—2截面，以2—2截面中心为基准水平面，在两截面间列伯努利方程：
因为2—2截面中心为基准水平面，所以Z2=0，面Z1即为所求。高位槽与管出口均与大气相通，则p1=p2。又因1—1截面积比2—2大得多，可近似看成u1=0。管路中无液体输送设备，外加能量ws=0。已知hf=58.8J/kg。
由体积流量：
Z1=6.18m
在现代过程工业生产中，常用压缩空气将密闭容器中的料液压送至较高处的设备中去，这种情况则是流体的静压能转换成位能的实例。
【例2-11】 如图2-10所示，某车间生产工艺要求：10min内将300L密度为1500kg/m3的料液，从地面储罐用压缩空气压到15m高的计量罐内。设能量损失为9.8J/kg，求压缩空气的最低压力。管径为ϕ32mm×2.5mm。
图2-10 【例2-11】附图
解 取储罐液面为1—1截面，管子在计量罐内出口为2—2截面，1—1截面为基准水平面，在1—1截面和2—2截面间列伯努利方程：
按照题意可知：
ws=0
Z2-Z1=15m
hf=9.8J/kg
计量罐通大气，按表压计：
p2=0
料液储罐比管路出口截面积大得多，可近似看作：
u1=0
将以上条件代入伯努利方程，可简化为：
流速u2可由体积流量和管截面积求出，即：
管路出口处的动能为：
代入伯努利方程，得：
已知：
ρ=1500kg/m3
所以：
p1=157.2×1500=2.36×105（Pa）=236（kPa）（表压）
本例中储罐内的静压能为157.2J/kg，计量罐处的位能为147J/kg，流动阻力仅为9.8J/kg，基本上反映的是静压能与位能的转换。
在现代过程工业生产中，为使真空设备中的液体能自行排放到敞口储器，常把设备安装在很高的位置。设备下方装一个很长的出料管（俗称大气腿），依靠管中液体的高度，增加出料管下口的压力，使料液得以不耗外功自行排放。这个装置的原理就是流体的位能转换成静压能。
（2）动能
在输送流体的管路中，若无外功加入，且流体属稳定流动，则根据连续性方程，流经任何截面的流体，其质量流量都相等。对液体来讲，其体积流量也相等，即：
u1A1=u2A2=…=unAn=常数
若管路中各截面的面积相等，即A1=A2=…=An，则u1=u2=…=un，此时，各截面流体的动能均相等。若管路为圆管，则管径相等的截面处流体的动能也相等。若管路中各截面的面积改变时，视具体情况，动能可以与位能互相转换（如例【2-10】）或与静压能互相转换。当然，液体在面积不同的各截面处的动能也就不相等了。
用来抽真空的喷射泵就是利用动能与静压能相互转换的原理而设计出来的。喷射泵的结构如图2-11所示。由于泵上方导管截面积比喷嘴处的截面积大得多，因此当流体通过喷嘴时，流速会突然增大，动能也就相应骤增，而流体的位能不变，显然，动能的增加是通过该处流体静压能的减少来实现的。流体静压能的减少意味着此处压力会减小，使支管造成真空，从而可从支管吸上液体，或造成与支管相连通的设备的真空。
图2-11 蒸汽喷射泵
1—吸入室；2—混合室；3—扩大管；4—喷嘴
【例2-12】 某厂利用喷射泵用稀氨水吸收氨气。导管中稀氨水的质量流量为1×104kg/h，静压力为1.5个大气压（表压），导管内径为53mm，喷嘴处内径为13mm，稀氨水密度按水计，即ρ=1000kg/m3，hf可忽略不计，试求喷嘴处的静压力。
解 取基准水平面通过导管中心线，导管入口处为1—1截面，喷嘴处为2—2截面。在1—1和2—2截面间列伯努利方程：
由于：
Z1=Z2=0
p1=2.5大气压（绝压）=2.528×105Pa（绝压）
入口处的静压头：
导管入口流速：
喷嘴出口处流速u2可由连续性方程求得：
将以上各结果代入伯努利方程：
p2=35.2×1000=0.352×105（Pa）
（3）静压能
流体内部的静压能是引导流体进入系统并保证流体在系统中流动所必需的能量形式。管系中某段管子的高度没有变化，流体的位能则不变。在一定条件下，流道截面积不变化，动能也不会改变，静压能却为保证流体的运动而转换成流体流动因摩擦而产生的热能和其他形式的能量损失。
关于这点还可从实验中得以证实。如图2-12所示，在支管1和支管2之间的一段管子，由于没有高度和管径的变化，位能和动能不改变，支管1、2间流体流动时的能量损失只能消耗静压能，管2液位高度低于管1，正是反映了减少的静压能。显而易见，流体所具有的静压能克服了流体内部和管路的阻力，保证了流体的运动。此外，流体通过支管1、2向上并保持一定液位，也是静压能转换位能的实例。
图2-12 流动阻力的观测
打开自来水阀门时，由于水管中原来处于静止状态的自来水具有一定的压力，因此水会以一定速度流出，本身静压力减小。该例即为静压能转换成动能的实例。
通过以上的讨论，可以得出结论：流动的流体所具有的各种形式的机械能，在不同条件下可以互相转换，在转换中遵守能量守恒定律的特定形式——伯努利方程。
（4）外加能量
流体之所以具有能量并产生流动，常常是因为流体输送机械对流体做了功。由伯努利方程式（2-31）可写出：
（2-33）
式（2-33）说明流体具有的各种形式的机械能的增加和流动阻力，均可由输送机械的外加能量来提供。
在现代过程工业的工艺设备设计中常遇到需要计算流体通过某段管路所消耗的能量以及提供这一能量的输送设备配用电机的功率的问题。运用伯努利方程可解决此类问题。
运用式（2-33）可算出外加能量，即对单位质量流体所需施加的外功。显然，流体输送机械所提供的理论功率为：
NT=wsVsρ （2-34）
式中 NT——输送机械提供的理论功率，W；
Vs——流体的体积流量，m3/s。
【例2-13】 用离心泵将密度为1100kg/m3的液体从地面储罐送至10m高的敞口容器。已知泵进口流速为1m/s，压头损失为1m液柱，进口管径为ϕ108mm×4mm，出口管径为ϕ76mm×3mm，求泵所提供的理论功率。
解 取地面储罐液面为1—1截面，高位容器管子出口处为2—2截面，选储罐液面为基准水平面，在1—1截面和2—2截面间列伯努利方程：
根据已知条件：
Z2-Z1=10m液柱
p2=p1=0Pa
hf=9.8J/kg
因储罐截面积远大于管出口截面积，可近似看成u1=0，料液在进口管u=1m/s，根据连续性方程可知，出口管处u2应为：
将上面各值代入伯努利方程：
输送料液所需的理论功率为：
2.3.4.4 应用伯努利方程解题要点
①作图 由题意作出流动系统示意图，目的在于形象地了解系统的结构、能量的存在和变化情况以及已知量和所求量的关系。
②选取上、下截面 目的在于确定衡算范围，正确地选择截面可简化运算过程。选截面时应注意：a.两截面应与流动方向垂直；b.两截面间的流体应是连续的；c.所求量应在截面上或两截面间（后者多指ws和hf）。
③选取基准水平面 目的在于确定流体位能的大小。伯努利方程用的是位能差的数值，即ΔZ=Z2-Z1，基准水平面可任取，显然，选择较低截面与基准水平面重合，计算起来更为方便。
④单位的统一 在把各物理量代入伯努利方程之前，应将单位统一换算成SI单位，然后进行计算。在前面所举例题中，压力有用表压的，也有用绝压的，这不是单位不统一的问题，因为伯努利方程反映的是静压能差值，即Δp/ρ，用表压值或绝压值计算的数值是相等的，所以对压力来说，在同一方程中，或者都用表压，或者都用绝压，千万不要相混。
若以单位重量的流体为计算基准，即G=1N，则式（2-28a）可写成：
（2-29a）
式中 Z——距基准面高度为Z处单位重量流体具有的位能，m；
——单位重量流体具有的动能，m；
——单位重量流体具有的静压能，m。
工程中把单位重量流体所具有的能量称作压头。式（2-29a）中各项分别称为总压头（e'）、位压头（Z）、动压头（）和静压头（），此外还有与ws、hf相应的流体输送机械的压头（He）和因流动阻力引起的压头损失（Hf）。
所有这些压头的单位都是：
J/N流体=N·m/N流体=m
因此压头的单位“m”的含义要理解为每1N流体相应的能量（J即N·m）。采用压头的概念后，自式（2-30）～式（2-34）都要相应改写成：
（2-30a）
（2-31a）
（2-32a）
（2-33a）
（2-34a）