2.2 流体静力学
2.2.1 流体静力学基本方程
在连续静止的流体内，任何一个单元体在所有方向上受到的外力都是平衡的。在水平方向上，因只受到内部的压力，故在相对方向上的压力均相等，否则就不平衡，流体也就不能保持静止状态。在铅直方向上，除受内部压力外，尚有单元体自身的重力，导致不同高度的水平面的流体所受压力不同，下面讨论这一变化规律。
在液体内任取一段液柱，如图2-2所示。其上、下底面积为A，液柱重力为F，选液体表面为Z=0，液柱上、下底与液面的垂直距离分别为Z1和Z2，上、下底面所受到的静压力分别为p1和p2，液体的密度为ρ。
图2-2 流体静力学基本方程的推导
在液柱的铅直方向上作力的平衡：上底面所受总压力为p1A，方向向下；下底面所受总压力为p2A，方向向上；液柱的重力为F=Aρg(Z2-Z1)。
则有：
p1A+F=p2A
将F值代入上式，则：
（2-14）
为讨论方便，将液柱的上表面取在容器的液面上，此时液柱上表面的压力为p0，下底面取在距液面任意距离Z处，作用于下底面的压力为p，对照式（2-14），则有：
p2=p，p1=p0，Z1-Z2=Z
式（2-14）可改写为：
p=p0+ρgZ （2-15）
式（2-14）和式（2-15）均称为流体静力学方程式，表明了静止流体内部压力变化的下述规律：
①在静止液体上方的压力p0一定时，液体内任一点的压力p仅与液体本身的密度ρ及该点的深度Z有关，ρ越大，Z越大，压力也越大。在Z相等的某水平面上，各处的压力相同。
②当液体上方的压力p0变化时，必将引起液体内部各点的压力发生同样大小的变化。
③式（2-15）可改写为
，此式表明ρ值确定后，压力差的大小可以用一定高度的液柱来表示。若是ρ有变化，Z就不为ρ的单值函数，也就不能简单地表示压力。因此用液柱高度表示压力时，要注明液柱的性质，如mmH2O和mmHg等。
另外需要强调：
①静力学基本方程式是以液体为例推导出来的，但同样适用于气体静力学方程式。
②流体静力学基本方程式只能用于静止的、连通着的同一种流体内部，因为它是根据静止的同一种连续流体导出的。
【例2-6】 将车间蒸汽采暖改为水采暖，水管路是封闭的（视为连通的同一流体），安装好后做水压试漏时，管路最低处的压力表读数为120kPa，求距最低处10m高度处的压力。管路最高点排空阀打开，当地大气压为100kPa。
解 最低点压力表处的绝对压力为：
p2=120+100=220（kPa）
取最高放空阀处为基准水平面，所求压力处的深度为Z1，最低点的深度为Z2，显然有Z2=Z1+10，取水的密度ρ=1000kg/m3，若10m高处和最低点的压力分别为p1和p2，则根据静力学基本方程有：
2.2.2 流体静力学基本方程的应用
（1）液柱压力计
在生产车间和实验室中常用的液柱测压计就是根据静力学方程的原理制造的。
液柱式压力计的形式很多，比较简单的是U形管压力计，结构如图2-3所示。在玻璃制的U形管中，装有密度大于被测流体的指示液，并要求指示液与流体不发生化学反应且不互溶。
图2-3 U形管液柱压力计
当U形管上方两端分别与测压点1、2相连时，能测出1、2两点的压力差。对于p1≠p2（如p1>p2）的场合，U形管两侧产生液面高度差R，且低压侧的液面比高压侧要高。如图2-3所示，3、4两点处的压力是相等的，这是因为两点均在连续静止的流体内的同一水平面上。若指示液的密度为ρ示，流体的密度为ρ，则根据静力学基本方程式，由左侧可得p3的压力为：
由右侧可得p4的压力为：
p4=p2+mρg+Rρ示g
因为：
p3=p4
代入得：
整理得：
（2-16）
式（2-16）中，
在选好液柱压力计后已为定值，
仅为R的单值函数，所以根据液面高度差就能测出对应的压力差值。式（2-16）还说明，压力差与U形管的粗细、长短无关；
数值越小，读数R越大，测压范围越小，精确度越高；反之，
数值越大，R则越小，测压范围越大，精确度越低。因此，在使用U形管液柱压力计时，应根据工艺要求选用适当的指示液。常用的指示液有水银、水、煤油和四氯化碳等。
测量气体时，由于气体密度比指示液密度小得多，可将近似看成ρ示，这样，式（2-16）就变成：
p1-p2=Rρ示g （2-17）
若将U形管的一侧与大气相通，另一侧连通流体的某一点，则所测得的压力差就是流体在该点的压力与大气压的差值，即流体在该点的表压或真空度。
【例2-7】 用U形管液柱压力计测量设备上A、B两点压力差，已知流体为水，指示液为CCl4，液柱压力计读数R=40cm。①求A、B两点的压力差；②压力差不变，指示液改为水银，求读数R。
解 ①按式
计算：
R=40cm=0.4m
查有关手册得：
ρ示=1595kg/m3，ρ=1000kg/m3
代入得：
②指示液改为水银：
（2）液柱压力液面计
工厂为维持正常生产、保证安全，对锅炉内的水面位置和反应罐或一些设备内的液面位置进行监测是非常重要的。某些测定液面的仪表，其工作原理就是依据静力学基本方程，液柱压力液面计就是其中之一。
图2-4所示为液面测定装置，即液柱压力液面计。结构与U形管液柱压力计相同，U形管的两端分别与设备上方气体和底部液体，即图中所示的1、2两点连通，由于1、2两点有压力差，因此U形管内指示液必有液面高度差R。此时，R的大小与液面高度成正比，按照流体静力学基本方程，由R值就可求得液面高度。
【例2-8】 如图2-4所示的容器中存有水，U形管指示液为水银，R读数为100mm，求容器内水的高度Z。
图2-4 液柱压力液面计
解 以U形管低侧指示液面为基准面，在此水平面上左右两侧的压力相等，分别列出两侧的静力学
基本方程：
p左=p0+Zρ水g
p右=p0+Zρ水银g
因为：
p左=p右
所以：
p0+Zρ水g=p0+Zρ水银g
从上例可看出，此种液位计经计算所得的液面高度是以低侧液面为零开始算的，如需知道从容器底到液面的高度，尚需校正。