1.2.7　半定规划

半定规划（Semidefinite Programming，SDP）的目标函数为线性表达式，约束条件包含半正定约束。在给出其一般形式之前，我们先来介绍一下什么是半正定矩阵。

半正定矩阵（Positive Semidefinite Matrix）：给定实对称矩阵A∈Rn×n，若对于任意n维非零实向量x，xTAx≥0恒成立，则称矩阵A为半正定矩阵。

为方便叙述，定义以下符号：

·Sn：所有n维对称矩阵的集合。

·：所有n维半正定（Positive Semidefinite，PSD）矩阵的集合。

根据文献［36］[3]，半定规划的标准形式如下：

其中，C∈Rn×n；X∈Sn，是半正定决策变量矩阵；Ai∈Rn×n，bi∈R；符号“·”表示矩阵的内积，即，符号表示半正定，约束一般被称为半正定锥约束。

下面给出一个半定规划的简单例子。考虑一个最小化问题，令n=3，m=3，且给定下列参数：

以及一个3×3的决策变量矩阵：

则上述数据就可以构建一个SDP的数值案例。注意，X为对称矩阵，因此xij=xji，∀i，j∈｛1，2，3｝。

接下来将其写成展开的形式。

其他部分的展开也类似。最终，上述案例可以写成如下形式：