2.3　量子力学基础

2.3.1　基本原理

量子理论的提出至今已超过百年，从量子力学到量子场论的整个理论体系建立在基本假设的基础上，主要有以下几个假设。

（1）所有微观粒子的运动状态都由相应的归一化波函数描述。

（2）薛定谔方程、克莱因-戈登方程、狄拉克方程是微观粒子的波函数随时间t演化所必须遵循的。

（3）微观粒子的力学量用线性厄米算符来描述。

（4）力学量算符之间的对易关系实现了力学量的量子化。

（5）全同粒子的波函数具有对称性，费米子的波函数具有反对称性，玻色子的波函数具有对称性。

以上假设全都得到了实验验证。

爱因斯坦根据光电效应实验提出的光电效应方程为

式中，是光电子的能量，其中是光子频率；，是光子的初动能；A是电子摆脱金属引力到达金属表面所做的脱出功。光电效应证明了微观粒子具有粒子性，而电子的干涉、衍射证明了微观粒子具有波动性，所以微观粒子具有波粒二象性。德布罗意据此给出的物质波公式为

式中，E和P分别是物质的能量和动量，表明物质具有粒子性；和分别是物质的频率和波长，表明物质具有波动性。物质波的平面波波长为

玻恩于1926年给出物质波的统计解释：物质波是一种概率波，空间中某处物质波波函数振幅的平方与该处粒子出现的概率成正比。

根据卢瑟福提出的原子的核式结构模型，玻尔提出了电子绕核运转的轨道定则和定态假设。轨道定则指出，电子只能在某些轨道上绕核运转，这些轨道是分立的且具有特定的半径，因而电子具有特定角动量，即

定态假设指出，电子在某个轨道上具有一定的能量，处于稳定运动状态，并且电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时原子将吸收或放出特定频率的辐射，即

原子核外的电子分布遵守下述量子数规则。

（1）主量子数n=1,2,3,…，它决定电子在原子中的能量：

（2）角动量量子数l=0,1,2,…,n-1，它决定轨道角动量：

（3）磁量子数，它决定电子绕核运转的动量矩的空间取向：

（4）自旋量子数，它决定电子自旋角动量的空间取向：

由此可见，电子在原子核外的分布遵守泡利不相容原理：在一个原子系统内，两个或两个以上的电子不能具有完全相同的量子数。

薛定谔首先写出了物质波的波函数：

在体积元dV=dxdydz内发现粒子的概率为

而在全空间内发现粒子的概率显然是1。

微观粒子由于具有波粒二象性，所以具有一个重要性质，即测不准关系：

说明在微观世界里，对偶物理量不可能同时准确测量。式中，普朗克常量，是微观世界中一个重要的常数。

2.3.2　泊松括号

量子场的定义：这里的场是指具有无穷多个自由度的力学体系，包括标量场、狄拉克场、电磁场等。在这些力学体系中，高阶微扰修正出现的发散问题难以解决。在电磁理论中发散问题源于电子质量和电荷的重新定义，为此引入了重整化。此外，任意形式的引力场中都可能造成氢原子的能级微扰，具体计算也需要重整化。

作用量是物理系统中的能量与时间的乘积。在经典力学、量子力学、经典场论和量子场论中，作用量具有不同的数学表达形式。最小作用量原理是指自然界中的所有自由物理系统总是自发地沿着作用量为极值（极大值、极小值）的路径运动。这里的路径为物理路径、变化过程或演化方向。若用S表示作用量，表示作用量的变分，则最小作用量原理为

系统作用量S为

式中，表示拉格朗日作用量，其定义为

如果用和分别表示正则坐标和正则速度，则是关于和的函数，即。具体地，对于单自由度系统，有欧拉-拉格朗日方程，即

证明：

由式（2.3.1）、式（2.3.2）得

所以得

对于多自由度系统，将式（2.3.4）推广，得

推导正则关系：因为，所以有

定义哈密顿量为

则有

式中应用了。由此可得

P和q组成一组正则共轭变量，式（2.3.8）是它们所满足的正则关系。

定义泊松括号为

则正则运动方程为

若都用表示，则式（2.3.8）中的两个方程可以合并为

对于多自由度的情况，如果函数，则

而多自由度情况下的正则运动方程为

将式（2.3.13）代入式（2.3.12），得

令为多自由度情况下的泊松括号，则式（2.3.14）可简化为

如果不显含t，则。

泊松括号具有下列性质。

（1）若C为常数，则。　（2）。

（3）。　（4）。

（5）。　（6）。

（7）。

（8）。

2.3.3　量子算符

算符，即运算符号。乘方符号、开方符号及高等数学中的微积分符号等都是算符。在经典物理中，算符就是“作用”；在计算机科学中，算符就是“操作”，如“输入”“删除”“复制”“粘贴”等。

在量子力学中，为了精准地描述微观粒子的状态和性质，人们创造了许多算符，主要有狄拉克算符和对易算符。

1．狄拉克算符

狄拉克做学术研究最鲜明的特点是大胆假设、充分想像。

狄拉克以和表示态矢量，分别叫作刃矢和刁矢，如刃矢A写作，刁矢B写作。和的标积（也称内积）表示为

式中，是在Q表象中的分量排成的列矩阵，即；是在Q表象中的分量排成的行矩阵。所以有

若=0，则称两态矢量正交。的归一化条件为

态矢量可以直接进行相加和数乘运算的空间称为线性空间，即有且满足加法交换律、加法结合律，以及存在使成立，并且，其中α为复数。

态矢量可以展开为完备本征函数系之和，即

式中，，所以有

为了将态矢量投影到基矢上，先定义投影算符，即

投影算符将态矢量变成基矢方向上的分量，即

本征函数的封闭性定义为

如果本征函数是连续的，则在坐标表象中写作：

在动量表象中写作：

如果本征函数是分立而又连续的，则

狄拉克算符作用于态矢量，得到一个新的态矢量。

的本征值为λ的本征值方程为

薛定谔方程为

其相应的矩阵形式为

平均值公式为

2．对易算符

为了与泊松括号的表示相区别，我们以方括号[　]表示对易算符。

1）对易子的定义及基本对易关系

两个算符之积定义为，表示先以算符作用于波函数，再以算符作用于。一般而言，。令，则。类似地，有

如果定义为对易子或对易算符，则当=0时，称算符对易；否则称算符不对易。由对易子的定义可得

若w(x)为x的任意函数，f(x,y,z)是任意可微函数，则可以证明

同理可得

以上各式即可表明基本对易关系。

2）对易子的一般恒等式

3）角动量算符

将角动量变成算符，其3个分量的算符为

角动量与坐标的对易关系为

角动量分量之间的对易关系为

式（2.3.28）、式（2.3.29）和式（2.3.30）可以统一写作：

此外，有

总之，角动量与坐标、坐标与动量、角动量与动量，以及角动量与角动量的对易子可分别概括为

式（2.3.31）表明，如果算符具有共同的完备本征函数系，则它们对易，即

反之则它们不对易。

4）简谐振子的表示

在经典理论中，简谐振子的拉格朗日量为

式中，。

正则动量为

系统的哈密顿量为

拉格朗日方程为

正则运动方程为

考虑一维简谐振子的量子化问题，其位移和动量分别为，则系统的拉格朗日量为

式中，。将拉格朗日量L代入拉格朗日方程，可得简谐振子的动力学方程为

式中，负号表示简谐振子的受力方向总与其位移方向相反。简谐振子的正则动量为

因为是一维简谐振子，故按照平面坐标展开，简谐振子的角动量（矢量表示）为

式中，k表示角动量J与谐振平面垂直。J不显含时间，有

由此可见，系统的角动量守恒，若无空气阻力和摩擦，振动将永远持续进行。若以算符表示，则有

简谐振子的哈密顿量为

式中，。显然，简谐振子的位移q和动量p互为正则共轭变量。若把q、p、拉格朗日量L和哈密顿量H都看作算符，则可定义湮灭算符和产生算符：

湮灭算符可消灭一个动量为的标量粒子；产生算符可产生一个标量粒子。

考虑正则坐标q和正则动量p的关系式，即

可得湮灭算符和产生算符的对易关系为

简谐振子的哈密顿量可以用湮灭算符和产生算符表示为

式中，，是粒子数算符。若N的本征态为，本征值为n=0,1,2,…，则对应的本征态为，其中为基态，满足归一化条件。因而正交归一本征态是

则本征方程可以写作：

简谐振子的能量为

5）泊松括号与对易子的关系

泊松括号反映了物理正则量之间的关联和差异性，全同粒子之间的差异为零；对易即交换，对易子为零意味着两个算符等价。

设所有力学量都具有对应的算符，引入对易关系，即

则算符在态ψ中的平均值为

对时间t求导，应该对被积函数中的3个因子分别求导，即

因为，所以有

定义算符：

比较式（2.3.42）和式（2.3.43），得

式（2.3.44）是算符的运动方程。将式（2.3.44）与式（2.3.15）进行比较，得

采用自然单位制，得

这就是对易子与泊松括号的关系式。

例1　求证。

证明：有三种方法可以证明该式。第一，先证，再证。

依据可得。

第二：由得

第三：直接依据得

粒子数算符具有如下几个性质。

（1）。

证明：依据对易子性质，即及，得

（2）。

证明：

怎样将经典力学量量子化呢？首先，确定经典力学系统的哈密顿量H；其次，寻找所研究的物理量F与哈密顿量H的泊松括号；最后，按照泊松括号与对易子的关系式直接将经典力学量量子化。

2.3.4　描述微观粒子的方程

1．薛定谔方程

薛定谔方程是量子理论中最基本的方程。自由粒子的能量和哈密顿量分别是。由于，所以自由粒子的薛定谔方程为

考虑粒子在势场V中的哈密顿量是，可得一般的薛定谔方程为

薛定谔方程的相对论形式用来描述自旋为零的粒子，遵循相对论的能量-动量关系，即

考虑相对论质量，有

2．克莱因-戈登方程

克莱因-戈登方程为

它用来描述自由介子，其推导过程如下：

消去速度因子，可得到能量-动量关系式，即

由，由，将其代入上式得

引入算符，则有4-维达朗贝尔算符，即

令，这时克莱因-戈登方程具有简单的形式，即

(W2-κ2)Ψ=0

（2.3.51）

3．狄拉克方程

对开方，得

以代替式（2.3.52）中的能量和动量，得

考虑势场V，有

由易得

设，则有

对等号两边式子取平方，得

令系数满足下面的关系式：

注意，此处的都是算符，下面的泡利矩阵和狄拉克矩阵也是算符。

令，则式（2.3.55）中的式子可以概括为一个公式：

满足式（2.3.56）的两个算符具有反对易关系。

泡利为描述电子的自旋角动量曾经建立了3个2×2矩阵和2个辅助矩阵：

不难证明，泡利矩阵具有下述性质：

显然，若把也视作矩阵，则它们与泡利矩阵具有类似的性质。由于存在4个未知的反对易量，所以应该是4×4矩阵而非2×2矩阵。为此狄拉克将2×2的泡利矩阵扩展为4×4的矩阵：

并且构造了新矩阵：

将对应的矩阵与相乘，恰好是，即

按照矩阵乘法，不难验证仍然遵守反对易关系，它们称为狄拉克矩阵。例如，因为

所以其余同理可证。

有了狄拉克矩阵，可求。自由粒子的能量-动量关系已设为

并且已知

所以得

即

这就是自由粒子的狄拉克方程。该方程给出了微观世界的重大信息。第一，世界上除了存在负电子，还存在正电子。第二，物质世界是对称的。第三，考虑电子的相对论性效应，给出的氢原子能级的精细结构与实验结果精确吻合。第四，揭示了负能级的存在。

2.3.5　量子力学与广义相对论的矛盾

概括地说，量子力学和广义相对论之间存在六大矛盾。

（1）广义相对论认为，引力是由于时空弯曲而呈现的一种几何效应，无法量子化；量子力学则认为，所有力包括引力都产生于玻色子的交换过程，如光子的交换导致电磁力，弱规范玻色子W±、Z0的交换导致弱相互作用力，胶子的交换导致强相互作用力，这些力不可能几何化。

（2）广义相对论承认确定性，认为只要测量手段足够精确，粒子的位置、速度、角速度、动量等物理量都能精确测定；量子力学则认为，不确定性是粒子的固有性质，位置和动量的乘积、时间和能量的乘积遵守不确定关系，不可能精确测定，一切过程的发生都是随机的，大量测量结果遵守概率统计规律。

（3）广义相对论认为，物质可以无限分割，质量分布是连续的；量子力学则认为，物质存在分割的极限，构成星系、沙粒、分子、原子的基本单元是夸克、电子之类的48种费米子和光子之类的14种玻色子，存在最短长度和最短时间。

（4）广义相对论认为，宇宙中的一切都是客观存在，这个世界可以被观测和描述，并且这种观测和描述对客观存在没有任何影响；量子力学则认为，观测者对世界的测量会影响客观存在。

（5）广义相对论认为，不论是宏观天体还是微观粒子，其运动速度都存在上限，即光速；量子力学则认为，信息的传播是瞬时的、超光速的。

（6）广义相对论的时空背景是用黎曼几何描述的弯曲时空；量子力学的时空背景是用欧几里得几何或闵可夫斯基几何描述的平直时空。