3.2　Bass扩散模型

3.2.1　Bass扩散模型概述

比较现有的新产品扩散模型（如Bass, 1969；Fourt and Woodlock, 1960；Jiang，Bass and Bass, 2006；Mahajan and Muller, 1979；Mansfield, 1961），Bass扩散模型能够很精确地描绘新产品和创新的扩散曲线（Bass，Krishnan and Jain, 1994），同时，在实践应用和理论研究领域都很有影响力（Bass, 2004）。

Bass（1969）认为消费者采用新产品受两种力量的驱动：一种是外部力量，它通过大众传播来传达；另一种是内部力量，它通过消费者之间的社会传播（如口碑）来传达。假定p和q分别为创新系数和模仿系数，并且假定m为新产品的潜在市场容量（总采用者），n（t）为时刻t的采用者数量，N（t）为截止到时刻t的累积采用者总量。那么，Bass扩散模型满足下述微分方程：

其中，t≥0，N（0）=0，m-N（t）是采用者剩余类，p+N（t）表示时刻t消费者购买的概率。如果我们假定新产品的渗透率等于：

那么上述微分方程等价于：

其中，f（t）表示渗透率F（t）的微分形式。

通过求解下述微分方程组：

得到：

因此，

图3-1描述了Bass扩散模型所刻画的新产品扩散模型及生命周期曲线；该生命周期曲线是一个倒U形，累积采用者曲线则是一个S形曲线，而且，受大众传播而采用的消费者的数量随时间逐渐减少，受人际社会传染影响而采用的消费者数量随时间的扩散呈倒U形。

3.2.2　Bass扩散模型的特例：创新模型和模仿模型

在Bass扩散模型构建之前，Fourt和Woodlock（1960）以及Mansfield（1961）分别提出了负指数模型和逻辑模型来刻画消费者只受创新系数和模仿系数影响的情况下的新产品扩散模型。

Fourt和Woodlock（1960）构建了一个负指数模型来解释消费者购买包装品的行为（Grocery Product）。冉晓斌、刘跃文和姜锦虎（2017）基于社会网络环境，采用PSM模型对同伴影响个人新产品采纳的影响进行研究。通过网络真实用户数据实证分析，验证了同伴影响的作用和关系强度的正向调节作用。Aggarwal、Jaggi和Kumar（2013）认为在库存模型中制定经济订货政策时，必须考虑技术替代和新产品扩散的影响。本书通过构建数学模型来获得经济订货数量（EOQ），其中产品的需求假设遵循Fourt和WoodLock（1960）提出的创新扩散过程，并在需求模型中引入了产品技术替代效应的概念，使经济订货政策更具有现实性。Sabzevari等（2019）指出在新产品开发阶段，风险是不可避免的。识别、管理和降低风险对企业具有重要意义。研究以风险管理为考量，提出多目标数学模型，用于新产品存在下的供应链配置。这个假定的模型探索了最佳的战术和操作SCM决策。Mitra（2019）指出市场营销人员需要及时准确地预测产品扩散。Bass扩散模型已广泛应用于营销管理中，用于预测创新产品的扩散。鉴于生存市场的特性，这种预测需要了解关于Bass扩散模型的有效估计技术及其在生存市场中的应用。研究通过要求在起飞阶段使用适当的估计技术，在生存市场的背景下对Bass扩散模型进行及时预测。

消费者购买包装品只受企业的大众传播影响，与人际社会传播无关，此时q=0：

Mansfield（1961）构建了一个负指数模型来解释消费者购买工业品的行为。Anand、Singhal和Singh（2017）提出了一个实用的创新扩散模型，该模型在具有动态市场规模的贝斯模型的逻辑公式中加入了随机性。这些不规则的变化是社会经济和政治环境的不确定性造成的，创新所处的位置会影响潜在采用者的行为，导致他们的行为不一致。本研究的目的是找到线性和指数两种动态市场扩张结构在不规则波动影响下的解析解，其封闭形式的解在现有文献中是不可能的。除了市场规模的变化外，创新扩散还包含了重复购买的概念。然后，利用过程和积分方程，阐述了基于期望随机微分方程的新产品扩散模型。Teng、Grover和Guttler（2002）探索基于创新和采用实体的特征来预测扩散模式的可能性，并基于313家大型美国公司的横截面样本，研究了20项信息技术（IT）创新，并根据支持内部和外部影响的模型对其扩散模式进行了评估。但以创新系数为代表的外部影响非常小，所有的创新都以内部影响为主。然后，利用模型的另外两个参数——饱和度和模仿系数，代表内部影响进行聚类分析。研究发现了五个技术集群，并探讨了它们的创新特征与扩散模式之间的潜在关系。Kusaka和Suzuki（1995）从技术进步、市场和公共补贴政策等方面，阐明了社会考虑下新产品的扩散机制。首先，考虑到新产品的定价和技术进步对生产和市场的影响，构建并分析了一个线性模型来把握扩散过程的趋势。其次，讨论了补贴政策对价格和技术发展的经济效应，并提出了一些重要观点。最后，将该模型推广到存在新产品特有的潜在需求的情形，考察了原模型和推广模型在定价上的差异。

消费者购买工业品只受到人际社会传染影响，与企业的大众传播无关，此时p=0：