土坝边坡稳定计算中的两项分析

在文峪河水库土坝（水中倒土坝）稳定复核计算中，应用了中国水科院岩土所陈祖煜所编《ATAB》程序，在M-160机上进行了计算，并以计算成果，就土坝坝坡稳定分析中常易混淆的一个容重计算问题，和瑞典圆弧法的弊病对计算结果的影响问题，从理论和实践进行以下分析。

1 关于计算容重的分析

在土坝边坡稳定计算中，常易混淆的一个问题是同样部位的土体，在什么情况下用浮容重计算，什么情况下用饱和容重计算。一般有两种不同的研究方法：一种是把滑动土体骨架作为研究对象，水对骨架的作用力是外力，这个外力通常分解为浮力和渗透压力两部分。另一种是把包括孔隙水在内的浸水土体作为研究对象。现就这两种方法讨论于下。

可沿图1（a）滑弧面取浸水土体作为一个脱离体［如图1（b）和图1（c）］，浸水土体内部水和骨架间的作用力是内力而不出现。图1中，W_a是滑弧内浸润线以上土体自重；为便于说明，将滑弧内同一土体的饱和重W_s按坡外静水位标高分别以两种符号表示，W_su为静水位JC以上部分的饱和重，W_sd为静水位以下部分的饱和重；W_wu为FJ坝坡上的水重；W_wd为滑弧土体同体积的水重；W_f是滑弧土体在静水位标高以下部分的浮重；滑弧面上的静水压力为U_w=r₀Z；U是包括静水压力在内的孔隙压力（亦即实际观测到的孔隙水压力）。图1是以浸水土体作为研究对象，则有一个如何处理上述力的问题，通常有两种处理方法。

第一种方法：把坡外水重作为坡上一部分重量。如图1（a），有人认为可将滑面ABCF延伸到坡外，与坡外水位相交于G点，研究滑动体ABCFGJKA的稳定问题，并把穿过水体那部分滑面FG的抗剪强度视为零值。实际上，由于延伸面FG上面的水体FGP的重量与静水压力QGF相平衡，即式（8）中的分子和分母项里都不隐含FG面上的作用力。如图1（b）设G为作用在滑面上的重力合，则重力平衡为：

由于 W_s=W_su+W_sd，故：

式（2）表明，滑弧面上作用的重力，等于浸润线以上土重、浸润线与滑弧面间土体的饱和重及坝坡上水重之合，而后减去作用在滑弧面上包括静水压力在内的孔隙水压力。

第二种方法：把坡外水重置换成坡外无水。如图1（c），坡外水重W_wu加上坡外静水位标高以下滑面土体同体积的水重W_wd，是与作用在滑面CF上的静水压力U_w相平衡的，即：

W_wu+W_wd-U_w=0

从式（1）中减去上式左边三项等于零的数，平衡条件不改变，并引入W_f=W_sd-W_wd，得：

G=W_a+W_su+W_f-（U-U_w）

由于U是包括静水压力在内的孔隙水压力，即U=U_e+U_w，U_e=U-U_w=U-r₀Z，其中U_e为作用于滑面ABF上的超静水压力，r₀为水容重，Z为坡外静水位至计算滑面条块底边中点的垂直距离，于是得：

式（3）就是把坡外有水的情况置换成坡外无水的计算，与式（2）的计算是一致的。即作用在滑弧面上的外力，等于浸润线以上土重、浸润线与静水位间土的饱和重和静水位与滑弧面间土的浮重，而后减去作用在滑弧面上的超静水压力。

简言之，按坡外有水计算时（第一种方法），静水位以下的土体取饱和容重计算，孔隙水压力取包括静水压力在内的孔隙水压值。按坡外无计算时（第二种方法），静水位以下的土体取浮容重计算，孔隙压力取超静水压力值。

当用拟静力法计算地震惯性力时，在静水位标高以下土体应全部采用饱和容重计算，这一点是要注意的。

2 瑞典圆弧法和毕肖普法的应用与区别分析

瑞典圆弧法是条分法中最古老而又简单的一种方法，至今仍广泛被采用。毕肖普考虑了条间力的作用，在1955年提出了一个新的安全系数计算方法，由于该法的计算工作量较大，在电子计算机没有推广应用前，一般较难应用。如今，利用电子计算机来算题逐步得到推广，毕肖普法的优点也得到显示。因为这两种方法的基本假定不完全相同，计算结果不仅最小安全系数不一致，而且最危险的滑弧位置和形态也不一致，甚至差别较大。尽管圆弧法是有一定安全储备的近似方法，但对其可靠性仍值得去分析比较。作者用有效应力法，在对1962年建成的文峪河水库土坝坝坡稳定进行复核计算中，对这两种方法作了如下分析。

2.1 瑞典圆弧法

有效应力法的强度：

因为

所以

式中——有效抗剪强度；

σ——有效应力；

σ——法向总应力；

u——孔隙压力；

φ′，c′——有效应力强度指标。

如图2所示，瑞典圆弧法的基本假定是：①土坝坝体内只有垂直应力，此力等于其上土柱重量，假定每一土条两侧条间合力P_i及P_i+1的方向均与该土条底面平行，且大小相等方向相反，在考虑力和力矩平衡条件时可相互抵消；②滑弧面内的土体绕滑弧圆心旋转滑动；③按条分计算，各土条重量可分为作用于滑面的法向分力及切向分力。如果整个滑面上的平均安全系数为K，由式（4）可得土条底部的抗滑切向阻力：

由力矩平衡：

因X_i=Rsinα_i，并将式（5）代入式（6）为：

将土条重量在底部法线方向分力N_i=W_icosα_i 代入式（7），即得瑞典圆弧法基本公式：

因L_i=bsecα_i，考虑地震力的作用，由式（7）和式（8）力矩平衡得：

等式右边分子分母除以R，得：

式中 W_i——土重；

——条块的垂直地震惯性力；

Q_i——条块的水平地震惯性力；

e_i——条块重心与圆弧中心的垂直距离；

U_i——条块底面中点的孔隙压力强度；

其余符号见图2所示。

2.2 毕肖普方法

毕肖普方法的力矩平衡条件与式（7）相同，即：

除土条重量外，毕肖普考虑了各土条之间力的作用，补充了瑞典圆弧法之不足，如图3所示，每个土条垂直方向力的平衡条件为：

W_i+X_i-X_i+1-T_isinα_i-N_icosα_i=0

根据《土坝设计》（水利电力出版社，1978：330），考虑土条间作用力，土条底面法向有效力：

将代入式（7）中（N_i-U_il_i），并代入：

l_i=bsecα_i

X_i=Rsinα_i

化简：

各土条对圆心的力矩平衡条件时，条间作用力将互相抵消，从而式（7）可写成：

式中，实用上可令X_I-X_I+1=0；secα_icosα_i=1；含有c′_ib_i 的两项合并于下：

于是得到毕肖普法的简化式：

2.3 考虑地震力的计算

考虑地震惯性力，为便于计算，将式（9）和式（11）分别写成计算式，瑞典圆弧法为：

毕肖普法为：

式中，——有效应力强度指标；

W_1i——土条在坡外静水位标高以上的实际重量，即饱和的用饱和容重，非饱和的用湿容重；

W_2i——土条在坡外静水位标高以下的实际重量，即取饱和容重；

——土条在坡外静水位标高以下部分的浮容重；

U_ei——土条底的超静水孔隙压力（超过坡外静水位那部分空隙水压力），即当Z_i>0，取U_ei=U_i-r₀Z_i；当Z_i≤0，取U_ei=U_i0；以上U_ei取值中，U_i为土条底面中点包括静水压力在内的孔隙水压力，r₀为水的容重，Z_i为土条底面中点与坡外水位之间的垂直距离，当土条底面中点低于坡外水位时取Z_i>0，否则取Z_i≤0；

K_c——水平地震加速度系数，即K_c=K_HC_Zα_i；

K_V——竖向地震加速度系数，设计地震烈度为Ⅷ、Ⅸ度的Ⅰ级、Ⅱ级土坝，当同时计入水平和竖向地震惯性力时，则 K_v=，当不计水平向地震惯性力时，K_v=。

式中R，b_i，α_i，L_i，e_i如图2和图3所示。关于水平向地震系数K_H、地震加速度分布系数α_i，综合影响系数C_z，以及上述地震加速度系数将随有关规范修订而改变。

2.4 两种方法区别分析

瑞典法基本公式式（8）是根据滑弧面整体力矩平衡条件建立的，由于该法略去了条间力的作用，土条间的平衡条件不能满足，所以每一土条的力矩平衡也不满足，一般来说，算得的阻滑力偏小，使得安全系数偏小，而且最小安全系数的滑弧位置不确切。毕肖普法考虑了条间力的作用，使得作用在法面上的力得到平衡。为进一步分析两者差别，试从图1（a）中截取土条DEI′F′作一比较。

所截取的土条DEI′F′，如图4所示，按浸水土体作为研究对象，并把坡外水当作滑体的一部分，同时假定孔隙水压力呈静压分布，U为ED面法向孔隙水压力强度（即静水压强度）。图4（a）中土条DEI′F′，在瑞典圆弧法中是把所有的力投影到土条底面ED的法线方向，从而确定法向有效应力N′，该法假定作用在F′D和I′E上的合力平行于条块底面ED，即条间作用力在ED面上的法向没有分力。于是，按前述第一种处理方法得：

式中 W——土条饱和重；

r₀——水容重；

Z——条块底面ED的中点以上柱高度。

显然，式（14）中忽略了土条间骨架的有效作用力在法向的分量，同时也忽略了水压力P₁、P₂在法向的分量。

在图4（b）中，计入了条间静水压力P₁和P₂的作用，则在式（14）中被忽略的条间静水压力的水平分量是：

ΔP=P₂-P₁=γ₀ZΔXtanα

它在法向的分量为：

所以，仅就考虑条间静水压力而言，在ED面上的法向力平衡为：

故：

式中，W′为土条浮重。比较式（14）和式（16），显然是有区别，如以图4为例，取ΔX=7m，F′I=10m，F′D=I′E=40m，I′H=15m，Z=52.5m，α=35.537678°，则cosα=0.813733，secα=1.22890，由水容重r₀=1t／m³，饱和容重1.94t／m³，得出以下成果：

坡面水重

土条饱和重

由式（14）算得：

N′=630.7×0.813733-52.5×7×1.22890=61.60t

由式（16）式算得：

N′=40×7×0.94×0.813733=214.17t

由此看出，仅计入条间静水压力，法向力就有明显改变，可见再考虑条间骨架与骨架的作用力后的差别。两种方法的区别反映出瑞典圆弧法只满足整体的力矩平衡，而对每一土条力的平衡条件是不满足的。两种计算方法所得土条底面法向力的值不同，这就是瑞典圆弧法的安全系数比毕肖普法的安全系数小的原因。在计算中发现，瑞典圆弧法仅适用在全部滑面向下滑的情况或者整个滑弧都位于计算滑弧垂直半径一边的条件，详见计算实例分析。

3 计算实例分析

以两个计算成果为例分析于下。图5是文峪河水库水位降落期（由正常水位834.00m以平均每天降落0.156m的速度降到819.40m），在7度地震作用下，核算土坝上游坡稳定性的一个实例。计算时，输入坝的轮廓尺寸、强度指标以及滑弧圆心和深度的网格控制点后，经用土石坝边坡稳定分析程序《STAB》计算，得出包括瑞典圆弧法和毕肖普简化法的滑弧位置X值、Y值、D_s值及各自相应的安全系数。表1列出各层滑弧深度D_s的两种计算方法给出的最小安全系数及滑弧位置。

表1中计算成果表明：①同一个滑弧，两种方法算得的安全系数比较，毕肖普法均大于瑞典圆弧法；②两种方法所得最小安全系数的滑弧位置不一致；③同一个滑弧，若按毕肖普法确定最小安全系数的滑弧位置时，毕肖普法安全系数平均较瑞典圆弧法增大9.4%（由5.4%～15.0%）；④同一个滑弧，若按瑞典圆弧法确定最小安全系数的滑弧位置时，毕肖普法安全系数平均较瑞典法增大22%（由14.8%～33.3%）；⑤同深度，不同滑弧的最小安全系数比较，毕肖普法安全系数平均较瑞典圆弧法增大14.5%（由9.5%～18.8%）；⑥从各层最小安全系数滑弧比较，瑞典圆弧法滑弧半径较小；毕肖普法的滑弧半径较大，滑床较平缓而符合一般危险滑弧位置。

因R=|Y|+D_s，由表1可见，按毕肖普法算得最小安全系数滑弧位置为X=75m，Y=90m，R=116m；按瑞典圆弧法算得最小安全系数的滑弧位置为X=60m，Y=-20m，R=46m，最小安全系数及其相应值见表2。

图5中，Ⅰ—Ⅰ和Ⅱ—Ⅱ分别表示表2中两种方法的最小安量系数的滑弧位置，若按毕肖普法的计算结果，Ⅰ—Ⅰ滑面安全系数小于Ⅱ—Ⅱ滑面。若按瑞典圆弧法的计算结果，Ⅱ—Ⅱ滑面安全系数小于Ⅰ—Ⅰ滑面。显然，两种方法所得结果，不仅安全系数不一，而且危险滑床位置也有较大差别。从滑床形态分析，显然毕肖普法是较合理的。由文峪河水库土坝施工期两次滑坡的形态也说明了Ⅱ—Ⅱ滑面不可能是危险滑床，所以说用瑞典圆弧法难以得到最危险滑弧的位置，应充分认识到这一弊病。此外，作者用摩根斯顿—泼赖斯法的计算结果与毕肖普法的计算结果相比，两者相当接近。用简布法往往不收敛。

图6也是库水位降落期，考虑地震烈度7度时，对上游坝坡稳定性的一个算例。坝体抗剪强度指标如图6中所示，图6中阴影表示计算滑弧面上的超静水压力分布，用上述两种方法得到1，2，…，7个土条的滑动力和阻滑力计算成果见表3及图7。

表3中：

计算结果，毕肖普法K==0.993，瑞典圆弧法K==0.637。

两种方法算得的K值相差较多，由图7和表3可看到瑞典圆弧法算得滑弧两端土条的阻滑力较小，在1号土条还出现负值；而两种方法所得滑弧中部的阻滑力相近，可能是中部土条的条间作用力与底面近于平行的关系。此例进一步说明了忽略条间作用力后对计算结果的影响。尽管用拟静力圆弧法计算坝坡稳定性是一种偏于保守的近似方法，其中瑞典圆弧法显得更为突出；问题在于它所找到的最危险滑弧位置往往不合理，常是一种假象，用了不少时间去计算，还不易找到最危险滑弧的近似位置。作者在实际计算中发现，计算滑弧朝上滑动的那部分圆弧愈长，用瑞典圆弧法算得的安全系数愈小。图8为一个算例所得的S—η关系曲线，图8中纵坐标S为朝上滑的那段滑弧占全滑弧长度的百分率，横坐标η为瑞典圆弧法与毕肖普法安全系数的比率。由图8和大量计算表明，当计算滑弧的向上滑动的滑弧长度愈短，两种方法的计算值愈差得少，反之相差愈大；当全部滑弧都朝下滑动时，两种方法所得计算值更加接近或相等。由此说明瑞典圆弧法仅适用在全部计算滑面朝着下滑动的情况，或者整个滑弧都位于垂直半径一边的情况。毕肖普法则无上述局限性。

另外，惯用的瑞典圆弧法是取若干滑弧进行试算，逐步搜索得到最小安全度的滑弧位置。由于这些滑弧的S值不一致，所以计算所得的K值也不是同步的，这也说明该方法所得最危险滑弧的位置可靠性较差，在一般中小型工程设计中应注意到这个问题。

4 结语

（1）关于容重计算。按坡外有水计算时，静水位以下的土体取饱和容重，孔隙压力取包括静水压力在内的孔隙压力。若将坡外的水置换成坡外无水来计算时，则静水位以下的土体取浮容重，孔隙水压力取超静水压力。在计算附加地震惯性力时，静水位以下土体均取饱和容重。

（2）毕肖普法与瑞典圆弧法比较，后者所得抗滑安全系数偏小，而且其所找到的最危险滑弧位置和形态不合理。瑞典圆弧法仅适用于全部滑面朝下滑的情况或整个计算滑弧都位于计算滑弧圆心的一边的条件。瑞典圆弧法的计算成果，宜用毕肖普等其他方法验证其可信性。

原文刊于《土石坝工程》1985年第1期；获山西省1988年科技进步理论二等奖。