3.2　准经典近似结果

3.2.1　旋转框架中的玻色气体

在简谐势阱中，质量为的旋转中性玻色子的单粒子哈密顿为

式中，为动量，为轨道角动量算符，和分别为简谐势阱的横向和轴向特征频率，为简谐势阱沿z轴的旋转频率。由旋转引入的、对称规范下的矢量势可表示为。式（3.1）和在磁场中运动的单位带电粒子的哈密顿相似，可以认为旋转的作用相当于对系统引入了等效磁场。

对应的能量本征值表示为

为表述方便，对做无量纲化处理

无量纲能量本征值，量子数，，m=0,±1,±2,…。和分别表示简谐势阱的纵横比和无量纲旋转频率。单粒子基态能。

无量纲热力学势可以表述为，其中由热激发粒子引起的的表达式为

注意，式（3.4）将对所有量子数的求和直接转化为积分，这就是本章所采用的SCA。式（3.4）中无量纲温度和化学势分别被定义为和。注意，是本章新引入的多对数（Poly-logarithm）函数，而非人们所熟悉的玻色积分函数，请注意它们的区别。多对数函数的定义为，满足函数关系。

凝聚粒子贡献的热力学势可以表述为

式中，。为玻色系统的赝波函数，为玻色系统所处的势场。

在SCA条件下，系统所有的热力学量的解析表达式都可以由热力学势推导出来，比如粒子数表达式等，此处不再赘述。

系统刚好发生BEC时，，，，对应的BEC相变温度为

式（3.6）表明，旋转框架中的随旋转频率的增大而下降。当旋转频率接近简谐势阱特征频率（称为旋转极限或临界旋转频率）时，，系统将不再保持凝聚，这与快速旋转极限速度下的系统基态将发生向非凝聚相的量子跃迁的预言相一致[57-60]。

基态粒子占据率为

式（3.7）与三维简谐势阱中的非旋转玻色系统的表达式在形式上完全相同。旋转对基态粒子占据率的影响主要来自式（3.6）。

如果把旋转的影响看成一个有效磁场，这时旋转频率将会引入以下磁化强度

磁化强度为负值，这表明旋转框架中的玻色气体表现的是完全的朗道抗磁性。同时注意到式（3.8）中的磁化强度与温度无关，这与人们已有的共识“温度越低抗磁性越强”相矛盾。

3.2.2　合成磁场中的玻色气体

合成磁场中的单粒子的有效哈密顿可以表示成如下形式

该式与磁场中的单位荷电粒子的哈密顿类似，为合成磁场的矢量势。

对应的无量纲能谱为

式（3.10）中的表示无量纲合成磁场（为拉莫尔频率）。基态能。

通过SCA方法求出的BEC相变温度为

很明显，与合成磁场无关，只与简谐势阱的纵横比和粒子数有关。

用与旋转框架中的推导类似的方法可以求出合成磁场中的磁化强度

当时，抗磁性消失，合成磁场中的磁化强度也与温度无关，所以必须要对SCA的结果进行修正。

3.2.3　准经典近似存在的问题

如文献[57-61]所述，通过SCA计算没有发生旋转或者旋转框架下的玻色气体是非常有效的。它能够对BEC相变温度、基态粒子占据率和比热等热力学量很好地进行描述，并给出简单直观的解析表达式。然而，式（3.8）却表明SCA不适合用来处理旋转框架中的玻色气体的磁性质。如果用SCA来计算合成磁场，则问题将会更加严重。如式（3.11）和式（3.12）所示，BEC相变温度和磁化强度都没有得到正确的计算。

用SCA计算旋转玻色气体热力学性质的失效使得我们需要重新考虑经典的Bohr-van Leeuwen定理。理想玻色气体的巨正则自由能可以写为[58]

式中，为凝聚出现时的临界化学势。式（3.13）中的能级已经被下面的经典哈密顿代替

在式（3.13）和式（3.14）中，。注意，哈密顿方程（3.1）和方程（3.9）中的第一项所包含的矢量势在积分过程中将消失。对于旋转框架中的哈密顿方程（3.1）而言，与旋转有关的信息被部分地包含在旋转频率所描写的第二项中；而对于合成磁场中的哈密顿方程（3.9）而言，旋转的信息则被完全湮没了。

为了重新找回SCA计算中丢失的与旋转有关的信息，我们不得不重新考虑能级的量子化特性。本章将通过发展直接对分立的量子化能级进行求和的TSA来超越当前的SCA。

虽然EI-Badry小组[62]也通过修正合成磁场中玻色气体的态密度表达式，解析计算了对合成磁场的依赖及磁化强度随温度的变化关系，并给出了随合成磁场的增强而下降的结论，而且结果中也包含了有限尺度和原子间相互作用的叠加效应等因素对热力学量的修正，但是能级的量子化特性依然没有被考虑进去。