2.6 灰色系统理论基础

灰色系统理论中的“灰”指的是信息部分确知，部分不确知，或者说是信息不完全。“灰”是与表示信息完全确知的“白”和表示信息完全不确知的“黑”相对应的。灰色系统理论主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。

在处理实际问题时，往往是灰比白更好些。灰色系统不同于“黑箱”和“模糊数学”。“黑箱”建模方法是着重系统外部行为数据的处置方法，而灰色系统建模方法是着重系统内部行为数据间、内在关系挖掘量化的方法^[95]。“模糊数学”着重外延不明确、内涵明确的对象，而灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象。灰色系统正在农业、经济、社会、科教等方面得到日益广泛的应用，军事系统更是充满“灰”现象的系统。

2.6.1 灰色系统理论的两条基本原理

由于“灰”的特点是信息不完全，信息不完全的结果是非唯一，由此可派生出灰色系统理论的两条基本原理。

1.信息不完全原理

信息不完全原理的应用是“少”与“多”的辩证统一，是“局部”与“整体”的转化。

2.过程非唯一原理

由于灰色系统理论的研究对象信息不完全，准则具有多重性，从前因到后果，往往是多—多映射，因而表现为过程非唯一性。具体表现是解的非唯一，辨识参数的非唯一，决策方法、结果非唯一等。例如，非唯一性在决策上的体现是灰靶思想。灰靶是目标非唯一与目标可约束的统一，是目标可接近、信息可补充、方案可完善、关系可协调、思维可多向、认识可深化、途径可优化的表现。又如非唯一性在建立灰色系统理论（GM）模型上表现为参数非唯一、模型非唯一、建模步骤方法非唯一等。

非唯一性的求解过程是定性和定量的统一。面对许多可能的解，可通过信息补充、定性分析来确定一个或几个满意的解。定性方法与定量分析相结合，是灰色系统的求解途径。

2.6.2 数据变换技术

由于系统中各因素的物理意义不同，导致数据的量纲也不一定相同，这样在比较时就难以得到正确的结果。为了便于分析，保证各因素具有等效性和同序性，需要对原始数据进行处理，使之无量纲和归一化，这就提出了数据变换的问题。对抽象系统进行关联分析时，首先要确定表征系统特征的数列。方法有两种：（1）直接法，能直接得到反映系统行为特征的数列，可直接进行灰关联分析；（2）间接法，有些系统，我们不能直接找到表征系统行为特征的数列，这时就需要寻找表征系统行为特征的间接量，称为映射量，然后用此映射量进行分析。

记 X₀={X₀（k）|k=1，2，…，n} 为参考数列， X_i={X_i（k）|k=1，2，…，n}（i=1，2，…， m）为比较数列， m为比较数列的个数。

若k为时间序列，则X_i为第i个时间序列；若k为空间分布序列，则X_i为第i个空间分布序列；若k为指标序列，则X_i为第i个对象的指标序列。时间序列研究的是随时间变化的系统，通过历史的发展变化，对因素进行关联分析；空间分布序列用于研究随空间分布而变化的系统，通过各因素随空间的发展变化对系统的影响来确定因素间的关联情况；指标序列用于研究随指标而变化的系统，通过各因素随指标的变化对系统的影响来确定因素间的关联情况。

1.时间序列的处理

对时间序列X={X（k）|k=1，2，…，n}，常用的处理方法包括初值化、最小值化、最大值化、平均值化以及区间值化等。

2.非时间序列的处理

由于非时间序列（包括指标序列和空间分布序列）间的数据不存在运算关系，因而不能进行数据间具有运算关系的初值化、最小值化、最大值化、平均值化等处理，而必须采用其他处理方法，自然这些方法也兼有无量纲化的作用。考虑非时间序列X_i={X_i（k）|k=1，2，…，n}（i=1，2，…，m），常用的处理方法如下。

1）指标区间值化

求出，然后按下列公式求出生成数：

2）归一化

在非时间序列中，若数列中不同指标或空间的数值大小相差较大，则归一化处理使同一指标下的数量级相同。

假设 X={X_i|i=1，2，…，n} 为一特征参数数据集合，，。归一化后的数据集合设为。典型的非线性归一化方法主要有两种。

对数法：

其中， C=ln（γ），γ为满足式αγ≥1的常数。对数中的常数γ是为保证小数据取对数后为正值。

指数法：

其中，γ满足式βγ≤τ，τ为常数，一般取τ=20。指数中的常数γ是为保证大数据区分性。如果不加该参数，对所有的X _i当其大于某一固定值时，都接近1，显然对于大数据不易区分。