4.2　三角函数、解三角形、平面向量高考小题实战典型例题

4.2.1　代数法

例4-8　在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是（　　）

A.锐角三角形　　B.直角三角形　　

C.钝角三角形　　D.不能确定

解析：

传统方法思路:三角函数，正弦定理，余弦定理。缺点是相当麻烦，还不好理解。

周老师解题法:代特殊值。

选项A，若A=B=C=，

左边sin2A+sin2B=sin2+sin2，右边sin2C=，而，故A错；

选项B，若A=B=，C=，

　　　

左边sin2A+sin2B=sin2+sin2=1，

右边sin2C=12=1，而1=1，故B错；

选项C，若A=B=，C=，

左边sin2A+sin2B=sin2+sin2，

右边sin2C=sin2，而，故C对；

故选C。

例4-9　实数a，b均不为零，若=tanβ，且β－α=，则=　　　　。 

A.　　　　B.　　　　

C. －　　　　D. －

解析：

传统方法思路:三角函数计算。缺点是麻烦，容易出错。

周老师解题法:代数。

令α=0，β=，

原式中的等式可变为=tan，

即，故选B。

故选B。

例4-10　若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在　　　　。 

A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

解析：

传统方法思路:三角函数计算。缺点是易出错且不好理解。

周老师解题法:代数。

令A=B=，则cosB－sinA=<0，sinB－cosA=>0，

所以（－，+），故在第二象限。

故选B。

例4-11　（较难） 已知f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，f（x）的最小值是　　　　。 

解析：

传统方法思路:三角函数各种公式变形；缺点是特别麻烦，还容易错。

周老师解题法:代数。

详细解析如下（可作为大题解题步骤）:

令sinx+cosx=t，两边平方（sinx+cosx）2=t2，

得到sin2x+cos2x+2sinxcosx=t2，

即1+2sinxcosx=t2，所以sinxcosx=，

故sinx+cosx+sinxcosx=t+t2+t－，

变成了初中的二次函数，很明显，在t∈[－]时，最小值为－1。

答案:－1。

为什么t∈[－]呢?以下给出解释，

sinx+cosx=（sinx·+cosx·）

　　　　　=（sinx·sin+cosx·sin）=sin（x+）