第3节　费马定理

50

因为是整数，可以通过在同余式at≡1两边自乘次，得出ap-1≡1，或者说，当p是不整除a的质数时，ap-1-1总被p整除。

这则定理因为它的优美和实用性而值得注意。它通常被称为费马定理——名称来自于发现它的人（见费马所著Opera Mathem，第163页）。虽然他说已经找到了证明方法，他并没有给出证明。欧拉率先在他的论文Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio中发表了证明。证明是基于展开（a＋1）p，从展开式的系数的形式很容易发现（a＋1）p-ap-1总是可以被p整除，因此，只要ap-a可以被p整除，那么（a＋1）p-（a＋1）也一定可以被p整除。那么，因为1p-1总是可以被p整除，2p-2也是如此，3p-3也是如此，以此类推，ap-a也是如此。并且如果p不能整除a，ap-1-1将能够被p整除。著名的兰伯特在Nova acta erudit第109页给出了类似的证明。但是，因为展开二项式的方幂的方法看起来不符合数论的风格，欧拉在Novicomm. acad. Petrop上给出了另外一种证明，完全符合我们在上一条中的证明。我们后面还会再给出一种证明。这里我们将根据类似欧拉第一个证明的原理，补充另一个推论。下面的定理对其他研究也将会是有用的，而费马定理只是它的一种特殊情况。

51

如果p是质数，那么多项式a＋b＋c＋…的p次幂对于模p同余于表达式ap＋bp＋cp＋…。

证明

显然，多项式a＋b＋c＋…的p次幂是由形如xaαbβcγ…的数组成，其中α＋β＋γ＋…＝p并且x是p个元素（它们是a，b，c，…分别出现α次，β次，γ次，…）的不同的排列的个数。但是在条目41我们已经证明，除非所有的这p个元素都相同——数α，β，γ，…中的某一个数等于p，并且其余所有的数等于0——否则数x一定总是被p整除。由此可以推出（a＋b＋c＋…）p中的所有的项，除ap，bp，cp，…之外，都可以被p整除；并且当我们处理一个对于模为p的同余式时，我们总是可以安全地忽略那些项，从而得到（a＋b＋c＋…）p≡ap＋bp＋cp＋…。证明完毕。

如果所有的数a，b，c…都等于1，一共有k个，那么，可得出上个条目中的kp≡k。