2.4 随机共振动力学主要研究内容

2.4.1 随机响应

随机响应在随机动力学系统研究领域中具有重要的理论意义和应用价值，是各类随机动力学现象的研究基础。对于线性系统，在给定随机噪声激励时，随机响应的一些概率统计量可以计算得到。而对非线性系统，在给定随机噪声激励时，某些特殊系统可以得到精确解或在一些特定条件下能够得到精确平稳解。但是，大部分实际非线性系统只能近似求解。常见的可参考的近似方法有等效线性化方法、随机平均方法、多尺度方法等。等效线性化方法是指，对给定的非线性微分方程，用一个具有精确解的线性微分方程来代替，使得两个方程的解之差在某种统计意义下最小。该方法对于解决多自由度非线性系统的响应和可靠性问题方便可行。随机平均法是指，用随机平均或者连同确定度的平均的方法寻求一个与原系统近似等效的受白噪声激励的系统，然后用FPK方程求解该等效系统。该方法用于非共振情形时，平均后的FPK方程维数可比原方程的减少一半，从而降低了求解FPK方程的困难，扩大了可求解问题的范围。多尺度法是指，将时间分成多个时间尺度，并把解展开成多个时间尺度的级数，通过摄动展开，用消除久期项的条件确定各阶近似解。该方法思想简单、逼近精度高，是随机性动力学研究中极为重要的近似方法。此外，还有通过随机过程及随机微分方程理论分析非线性系统随机响应的方法，例如，积累量截断方法、等效非线性系统法等[30-32]。

2.4.2 随机稳定性

考虑了系统随机响应后，随机系统的稳定性则是非常重要的研究问题，该问题的研究具有丰富的理论研究意义和广泛的应用背景。根据确定性动力学系统理论的相关概念，可以对随机动力学系统的样本轨线的稳定性给出相应的定义和判定方法。随机稳定性理论研究在初值偏离平衡状态或平稳状态时，随机动力学系统解与该平衡位置或平稳状态间的距离在半无限长时间区间内是否有界及是否收敛于该平衡位置或平稳状态。随机过程的收敛性可在不同意义上定义。所以，随机稳定性也有多种不同方式的定义。常见的有李雅普诺夫稳定性和李雅普诺夫渐进稳定性、概率稳定性和概率渐进稳定性、M阶矩稳定性和M阶矩渐近稳定性等。其中，李雅普诺夫稳定性要严格于概率稳定性。但在参数激励的线性系统中，李雅普诺夫稳定性等价于概率稳定性。对于李雅普诺夫稳定性的研究，起初常用李雅普诺夫函数来判定系统稳定性。然而，在实践过程中，李雅普诺夫函数很难普及和构造，并且得到的往往只是稳定性的充分条件而非必要条件。但是，基于Oseledets乘积遍历性定理，可以利用李雅普诺夫指数和最大李雅普诺夫指数判定随机系统稳定性。这种方法计算相对简单，并且是稳定性的充要条件[33-41]。

2.4.3 首次穿越

随机稳定性是对随机动力学系统状态在半无限长时间区间内定性的分析与研究。而系统的定性状态在受到随机噪声激励后往往会在较大范围内做随机运动，产生定性的改变或损坏。值得研究的一种损坏模式是首次穿越，它反映了系统某些状态在随机噪声激励下一旦超过安全边界就会进入损坏状态，或随机过程首次超越状态规定的临界值。将产生的时间称为首次穿越时间。此时，系统状态停留在安全域内的概率称为可靠性。首次穿越与动力学系统的状态过渡及结构可靠性紧密相关，是随机动力学系统研究中的重要问题，具有广泛的实际意义。关于首次穿越，在随机动力学学系统分析中主要研究首次穿越时间、首次穿越的概率密度、可靠性、系统响应阈值等问题。首次穿越涉及的这些问题是随机动力学系统中最困难问题之一，只有当随机动力学系统状态为时齐扩散过程时才可能有精确解，已知解则限于一维情形。实际中，系统的状态空间通常是二维的或是高维的，为了求得首次穿越问题的解析解，采用降维方法是必要的。有学者应用古典随机平均法，将单自由度系统的随机响应转化为幅值或能量的一维时齐扩散过程，得到了首次穿越问题的解析解[1][2][11]。

2.4.4 随机共振

在研究了随机噪声激励对非线性系统作用的几个方面后，如果随机输入包含信号和噪声，就要考虑输入信号和随机噪声对输出信号的影响，尤其要研究在各种非线性条件下，输入信号和随机噪声在输出信号中的协作效应。当系统的非线性与输入的信号和随机噪声之间存在某种匹配时，如果增加输入噪声，则能够大幅度地增加系统输出的协作效应。非线性系统中呈现的这种随机噪声激励和信号之间的协作效应称为随机共振。随机共振研究的范畴极其广泛，主要在经典随机共振理论基础之上，研究了大量的广义随机共振，如非周期随机共振、超阈值随机共振、相干共振、参数调节随机共振、自适应随机共振、逻辑随机共振、熵随机共振等。关于随机共振理论方法的研究主要有：绝热近似理论、线性响应理论和本征值理论，频域上的信噪比、信噪比增益及功率谱放大因子等，以及时域上的驻留时间分布，互相关理论和信息理论测度等。同时还涉及随机共振在生物医学、图像处理及通信电磁领域中的实际应用。此外，在未来社会不断的发展过程中，随机共振在新兴产业，如能源的节约与有效利用、信息网络的快速发展、生物技术与制造、高精密仪器和装备的制造、新材料的生产等研究中也将越来越多地被应用[18][22][23][42-50]。