1.2.1　数制与转换

1.数制

数制是数的表示及计算的方法。数值数据是有大小的，人们习惯采用的是十进制。但在计算机内，各种信息都是以二进制代码形式表示的，这是因为采用二进制表示信息物理器件容易实现，并且二进制数据运算简单，可靠性高、能用性强。在设计研究计算机时常采用八进制、十六进制。

（1）十进制计数制

基数：10。

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

位权：以10为底的幂。

进位规则：逢十进一。

十进制是人们最习惯使用的一种进位计数制。

（2）二进制计数制

基数：2。

数码：0、1。

位权：以2为底的幂。

进位规则：逢二进一。

二进制是计算机中最常用数制。

（3）八进制计数制

基数：8。

数码：0、1、2、3、4、5、6、7。

位权：以8为底的幂。

进位规则：逢八进一。

（4）十六进制计数制

基数：16

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。

位权：以16为底的幂。

进位规则：逢十六进一。

在计算机中，通常用数字后面跟一个英文字母表示该数进位计数制。十进制数一般用D（Decimal）或d、二进制用B（Binary）或b、八进制用O（Octal）或o、十六进制数用H（Hexadecimal）或h。

2.转换

人们习惯采用十进制数，计算机采用的是二进制数，书写时又多采用八进制数或十六进制数，因此，必然产生各种进位计数制之间的相互转换问题。

（1）任意进制数（用R表示）转换为十进制数

位权相加法：把R进制数每位上的权数与该位上的数码相乘，然后求和即得要转换的十进制数。即：

【例1.2.1-1】将二进制数10111转换成十进制数。

（10111）2=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=16+0+4+2+1=（23）10

【例1.2.1-2】将八进制数127转换成十进制数。

（127）8=1×82+2×81+7×80=64+16+7=（87）10

【例1.2.1-3】将十六进制数15B转换成十进数。

（15B）16=1×162+5×161+11×160=256+80+11=（347）10

（2）十进制数转换为R进制数

转换方法：将十进制转换成R进制时，需对整数部分和小数部分进行分别处理。

①整数部分连续除以R，其余数的序列就是对应的进位计数制的整数部分。

②小数部分连续乘以R，取其整数构成的序列就是对应的进位计数的小数部分。

【例1.2.1-4】将十进制数44.125转换成二进制数。

转换结果：（44.125）10=（101100.001）2

【例1.2.1-5】将十进制数44.125转换成八进制数。

转换结果：（44.125）10=（54.1）8

【例1.2.1-6】将十进制数44.125转换成十六进制数。

转换结果：（44.125）10=（2C.2）16

（3）二进制与八进制、十六进制数之间的转换

大家知道，23=8、24=16，也就是说，1个八进制位等于3个二进制位，1个十六进制位等于4个二进制位。因此，很容易实现二进制与八进制、十六进制之间的转换。

①二进制转换成八进制或十六进制。

转换方法：从小数点开始，向左或向右每3位或4位二进制数分成一组（不足位数，整数部分高位补0，小数部分低位补0），然后按对应位置写出每组二进制数等值的八进制数或十六进制数。

【例1.2.1-7】将二进制数10011010110转换成八进制数。

转换结果：（10011010110）2=（2326）8

【例1.2.1-8】将二进制数1001.1010110转换成十六进制数。

转换结果：（1001.1010110）2=（9.AC）16

②八进制或十六进转换成制二进制。

转换方法：将每位八进制或十六进制数用3位或4位二进制数代替即可，小数点不动。

【例1.2.1-9】将八进制数7153转换成二进制数。

转换结果：（7153）8=（111001101011）16

【例1.2.1-10】将十六进制数9A28转换成二进制数。

转换结果：（9A28）16=（1001101000101000）2

（4）八进制与十六进制数之间的转换

八进制与十六进制数之间不能直接转换，它们之间可通过二进制间接来实现转换。

【例1.2.1-11】将八进制数476转换成十六进制数。

（476）8=（100111110）2=（13E）16

【例1.2.1-12】将十六进制数3C45转换成八进制数。

（3C45）16=（0011110001000101）2=（36105）8

各种进制数对照表如表1.2.1所示。