第3章　生存年金的精算现值

单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）

1．（2008年真题）设(50)岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且

则k的值为（　　）。

A．322

B．333

C．341

D．356

E．364

【答案】A

【解析】每月的年金精算现值为：

由，解得：k=322。

2．（2008年真题）设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（　　）。

A．0.4396

B．0.4572

C．0.4648

D．0.4735

E．0.4837

【答案】C

【解析】由已知，得

3．（2008年真题）根据以下条件计算=（　　）。

A．1.6

B．1.8

C．2.0

D．2.2

E．2.4

【答案】D

【解析】由已知，有

4．（2008年真题）支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：

已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E(Y)和(Y)分别为(　  )。

A．2.03；0.55

B．2.03；0.79

C．2.05；0.79

D．2.05；0.55

E．2.07；0.79

【答案】A

【解析】由i=0.06，得：v=(1+i)^-1=1.06^-1。

所以

故  Var(Y)=E(Y²)－[E(Y)]²=0.55。

5．（样题）考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：

已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金的负担现值为（　　）。

A．480

B．481

C．483

D．485

E．487

【答案】C

【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则

E(Z)，

Var(Z)，

，

故P=E(Z)+1.645=482.5。

6．（样题）考虑(90)的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：

已知利率i＝0.06，则=（　  ）。

A．1.8

B．1.9

C．2.0

D．2.1

E．2.2

【答案】C

【解析】由于，故

=1+1.06^-1×0.72+1.06^-2×0.39=2.0

7．（样题）设（1）；（2）；（3）。求=（　  ）。

A．0.085

B．0.125

C．0.600

D．0.650

E．0.825

【答案】D

【解析】由于，，

故，

解得：δ＝0.035。

所以。

8．（样题）已知α(12)＝1.000281，β(12)＝0.46811951，，假设死亡均匀分布。计算(65)退休每月期初1000的终生年金精算现值为（　　）。

A．113179

B．113189

C．113199

D．113209

E．113219

【答案】A

【解析】由已知，得：

9．（样题）给定条件：

（1）；

（2）；

（3）。

计算关于(x)的每次支付为1的期初年金，现值随机变量的方差=（　  ）。

A．10

B．36

C．100

D．106

E．392

【答案】D

【解析】由已知，得：

故  。

10．（样题）关于(x)的完全离散的保额为10的二年期两全保险，保费按照年度缴付，已知：

（1）；

（2）；

（3）每份保单总保费分2部分：纯保费、费用，总保费为10。其中费用占总保费的百分比为10%；

（4）对100份保单，经过二年后的总净收入期望值为1657.68。

求保险人为每份保单准备的初始基金额为（　  ）。

A．2

B．3

C．12

D．18

E．38

【答案】C

【解析】设初始基金额为U(0)，由已知，有：

100×10×90%×1.08²+100×10×90%×(1－0.58)×1.08+100×U(0)×(1.08²－1)=1657.68

解得：U(0)＝12。

11．李某留有遗嘱，其儿子年满21岁时可获得其5万元遗产。若其子现年12岁，已知，，利率i=0.06。则其子所得遗产的现值是（　　）万元。

A．2.94392

B．2.99401

C．3.15415

D．3.25426

E．3.25450

【答案】A

【解析】因为i=0.06，故v=1.06^-1，依题意得：

=5v⁹₉₁₂=5×=5×0.5918985=2.94392（万元）。

12．已知某生命表，如表3-1所示，现年30岁的王先生现在支付P元购买一份5年期年金合同，该合同承诺在未来5年内做出如下给付：

（1）在头2年内，无论该人是否死亡，都将在每年年末获得100元；

（2）在第3~5年内以其生存为条件在每年年末获得200元。假设年利率为4%。

则P=（　　）元。

表3-1  生命表

A．630.05

B．632.05

C．641.05

D．651.05

E．654.05

【答案】C

【解析】因为i=0.04，所以v=1/1.04。

该年金属于确定年金和生存年金的混合型，头2年为期末付2年定期确定年金，后3年为期末付2年延期3年定期生存年金。其精算现值（即P值）为：

=

=641.04812（元）。

13．小王今年20岁，如果他能活到60岁，他将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%，l₂₀=983992，l₄₀=966271，l₆₀=877671，则这笔给付在小王20岁时的现值为（　　）元。

A．86.72

B．88.30

C．95.47

D．97.21

E．99.01

【答案】A

【解析】从20岁活到60岁的概率是₄₀p₂₀，从20岁到60岁死亡的概率为(1－₄₀p₂₀)，

且₄₀p₂₀===0.89195。

如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值的现值为：

[1000×₄₀p₂₀+0×(1－₄₀p₂₀)]×1.06^-40

=1000×₄₀p₂₀×1.06^-40

=1000×0.89195×1.06^-40

=86.72（元）。

14．假设，k=0，1，2，…，利率为常数6%，则=（　　）。

A．8.8130

B．8.8333

C．8.8536

D．8.8638

E．8.8739

【答案】B

【解析】因为i=0.06，故d=i/(1+i)=0.06/1.06，所以

==0.5

根据生存年金与保险的关系得：=0.5/d==8.8333。

15．已知：=563，1000A_x=129，d=0.057，1000_nE_x=543。则_n|a_x=（　　）。

A．3.01

B．4.05

C．5.08

D．7.07

E．8.07

【答案】D

【解析】因为=0.06，

所以

=

=7.07。

16．下列公式中正确的为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】A项错误：

；

B项错误：

；

C项正确：

；

D项错误：

；

E项错误：

。

17．已知死亡服从De Moivre规则，ω=100，i=0.05，i⁽¹²⁾=0.0489，d=0.0476，d⁽¹²⁾=0.0487，=18.2559。则（50）岁的按月期初付100元的终身生存年金的精算现值为（　  ）元。

A．12.82

B．12.8７

C．13.85

D．12.95

E．13.34

【答案】B

【解析】由De Moivre规则得：，

所以。

故

，

所以=0.9994×13.34－0.4622=12.8７（元）。

18．已知：

并且在每一年内死亡服从均匀分布，则=（　　）。

A．6.383

B．7.483

C．8.583

D．9.383

E．10.783

【答案】D

【解析】由已知得：

=9.383。

19．给定a_x－a_x+1=0.5，v=0.9，q_x=0.1，则a_x+a_x+1=（　　）。

A．0.31

B．1.63

C．3.76

D．4.79

E．5.01

【答案】C

【解析】因为

，

即=0.9×(1－0.1)－0.5=0.31，

所以,

故=0.5+2×l.63=3.76。

20．王先生今年55岁，他在寿险公司购买终身生存年金，年金额于每月终付款250元，则在UDD假设条件下，其精算现值为（　　）元。（已知换算函数值=11.62376，i=0.06）

A．36746.29

B．36951.56

C．37494.29

D．38746.32

E．39746.28

【答案】C

【解析】每年付总额为250×12=3000（元）。

，

==0.05841，==0.05812，

故

=1.000357

=0.0468365

而=11.62376，故=12.62376。

故=1.000357×12.62376－0.0468365=12.58143，

=12.4981。

所以精算现值为：3000=37494.29（元）。

21．今年40岁的李先生挣了10000元钱，但他决定不直接拿钱，而改为由精算等价原理计算出的每年初支付K的一个年金，保证支付10年及10年后的余命。已知：i=0.04，A₄₀=0.30，A₅₀=0.35，=0.09。则K=（　  ）元。

A．536.21

B．538.35

C．541.35

D．542.35

E．547.21

【答案】B

【解析】每年支付K并且保证支付l0年的现值为=8.4353K，

每年支付K(在10年后的余命)的现值为，

因此有10000=(8.4353+)K。

由于A₄₀=+，

所以₁₀E₄₀===0.60。

又因为===16.90，

从而有10000=(8.4353+0.60×16.90)K=18.5753K，

故K=538.35（元）。

22．已知：=4.0，=10.0，=15.0，ν=0.94。则=（　  ）。

A．0.23

B．0.24

C．0.25

D．0.26

E．0.27

【答案】B

【解析】=+

=+

=(1／d)－(1／d)－(1／d)νⁿ_np_x，

即=1－νⁿ_np_x－。

对n=10，有：

=－=10－4=6，=(1／νⁿ_np_x)

故ν¹⁰₁₀p_x==6／15=0.4。

而d=1－ν=1－0.94=0.06，

故=1－ν¹⁰₁₀p_x－

=1－0.4－0.06×6

=0.24。

23．对于(x)的一份金额为1的期初付终身生存年金，已知：q_x=0.01，q_x+l=0.05，i=0.05，=6.951。假设p_x+1增加0.03，则该年金现值的变化为（　　）。

A．0.16

B．0.17

C．0.18

D．0.19

E．0.20

【答案】C

【解析】=1+vp_x+

设y表示p_x+1的变化。

(增加后)=1+νp_x+ν²p_x(p_x+1+y)

=(未增加)+

故现值变化=，

=6.951=1+=1+(1－0.05)

故=6.577.

故现值变化=0.03××0.99×6.577=0.177。

24．一个现年为（x）岁的250人群体，已知：

（1）剩余寿命相互独立；

（2）个体生存时，每年年初获得500元；

（3）i=0.06，A_x=0.369131，²A_x=0.1774113。

则用正态近似，计算初始基金=（　　）元时，才能保证95%的概率足够支付死亡保险金。

A．1120546.1

B．1345625.2

C．1439777.8

D．1569863.6

E．1659869.3

【答案】C

【解析】设F为初始基金，Y为个体死亡给付的现值，S为总体死亡给付现值。

所以E(Y)===5572.68，

Σ_Y===1791.96，

S=Y_l+Y₂+…+Y₂₅₀，

E(S)=250E(Y)=1393170，

σ_S==15.81σ_Y=28333，

0.95=Pr(S≤F)

=

≈，

而0.95=Pr[N(0，1)≤1.645]，

故初始基金F=1393170+1.645×28333=1439777.8（元）。

25．对于（x）两年期的两全保险，保险金额为1000，已知：首年保费为668，次年保费为258，d=0.06。则其等价的均衡纯保费为（　  ）。

A．450

B．461

C．470

D．479

E．485

【答案】D

【解析】由于d=0.06，ν=0.94，

故668+258vp_x=1000vq_x+1000v²p_x(p_x+l+q_x+1)，即

668+258×0.94p_x=1000×0.94×(1－p_x)+1000p_x×(0.8836)

解得：p_x=272/298.92=0.91。

而668+258×0.94×0.91=[1+0.94×0.91]

所以其等价的均衡纯保费为：==479。

26．考虑一全离散型的终身寿险，保险金额为1000，保险年龄（50），已知：

（1）保单费用每年为1；

（2）首年额外费用为15；

（3）理赔费用为50；

（4）所有费用发生在每年年初；

（5）死力服从De Moive假设，ω=100；

（6）i=0.05。

则其总保费为（　　）。

A．13

B．31

C．40

D．51

E．60

【答案】B

【解析】因为ω=100，x=50，所以A₅₀==0.36512。

又==13.33248，

而=1000A₅₀+15+1×+50A₅₀，

因此G===30.88。

27．今年40岁的李先生挣了10000元钱，但他决定不直接拿钱，而改为由精算等价原理计算出的每年初支付K的一个年金，保证支付10年及10年后的余命。已知：i=0.04，A₄₀=0.30，A₅₀=0.35，=0.09。则K=（　  ）元。

A．536.21

B．538.35

C．541.35

D．542.35

E．547.21

【答案】B

【解析】每年支付K并且保证支付l0年的现值为=8.4353K，

每年支付K(在10年后的余命)的现值为，

因此有10000=(8.4353+)K。

由于A₄₀=+，

所以₁₀E₄₀===0.60。

又因为===16.90，

从而有：10000=(8.4353+0.60×16.90)K=18.5753K，

解得：K=538.35（元）。

28．已知：i=0.05，A_x=0.28，A_x+20=0.40，=0.25，则=（　  ）。

A．9

B．11

C．13

D．15

E．17

【答案】B

【解析】由于①=－1＋₂₀E_x，

②=，

③=＋，

④A_x=＋₂₀E_xA_x＋20，

由0.28=＋0.25×0.40，得：=0.18，

代入③式有：=0.18+0.25=0.43，

代入②式有：==11.97，

再代入①式即得：=11.97－1＋0.25=11.22。

19．关于(x)的一份期初付3年延期终身生存年金，给定如下条件：

（1）i=0.04；

（2）首次支付额为l000；

（3）以后支付额以每年4％增长；

（4）在3年延期内无死亡给付；

（5）头3年每年初支付均衡保费；

（6）e_x=11.05是(x)的整值期望寿命；

（7）

则其均衡保费为（　　）。

A．2300

B．2500

C．2700

D．2800

E．3200

【答案】D

【解析】因为e_x=p_x+₂p_x+₃p_x+…=11.05，所以有

年金给付现值=ν³₃p_x1000+ν⁴₄p_x×1000×1.04+…

=

=1000

=1000v³(e_x－0.99－0.98)

=1000()³×9.08

=8072。

设均衡保费为π，则π(1+0.99v+0.98v²)=8072，即2.858π=8072，

解得：π=2824。

30．对(35)的一份30年延期，期初付金额为l1的终身生存年金，满足：

（1）如果死亡发生在延长期内，给付仅仅是在死亡年末支付以前保费的返还（利息为零）；

（2）=9.86，=0.21，=0.07。

则其均衡纯保费为（　　）。

A．1.24

B．1.32

C．1.48

D．1.57

E．1.68

【答案】D

【解析】设π为一次缴付的保费，则有：π=，

又=9.86，=0.21，=0.07，代入上式得：

π====1.48。

31．设Y是给付现值随机变量，此随机变量与一个三年期初付生存年金相联系，，，是（）取整余命随机变量，已知：

则Var(Y)=（　　）。

A．0.299

B．2.472

C．6.407

D．3.472

E．1.529

【答案】A

【解析】，

=0.09，

=0.81，

故E(Y)=1×0.1+1.80×0.09+2.70×0.81=2.449，

E(Y²)=1²×0.1+1.80²×0.09+2.70²×0.81=6.2965，

所以Var(Y)=E(Y²)－[E(Y)]²=6.2965－2.449²=0.2989。

32．已知一个（25）岁的人购买的到60岁退休时领取的终身生存年金，年金领取额为1，如果该人在退休前死亡，则在死亡年末得到趸缴保费的死亡给付，已知：=10，=0.06，=0.15，则该险种的趸缴保费为（　　）。

A．1.60

B．1.71

C．1.82

D．1.94

E．2.05

【答案】A

【解析】设趸缴保费为P，则有：

=0.06P+0.15×10，

解得：P=1.60。

33．现年35岁的王女士，欲购买15年定期的离散型生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%。则其年金的精算现值为(　  )元。

（设=10.198933，₁₅E₃₅=0.4038336）

A．120053.03

B．120153.07

C．125153.05

D．128153.06

E．130153.07

【答案】B

【解析】由于年利率i=0.06, =0.05663774，

从而，。

其15年定期生存年金的精算现值为：

+β(12)₁₅E₃₅]

=12000×(1.00028095×10.198933－0.46811888×0.4038336)

=120153.07（元）。

34．设对60岁的人每年年末给付养老金10000元，直到终生。设利率i=6%，换算函数=10.490273，则该年金的精算现值为（　　）元。

A．101053.03

B．102153.07

C．104902.73

D．106153.06

E．108153.07

【答案】C

【解析】该年金的精算现值为：

10000a₆₀=10000=10000×10.490273=104902.73（元）

35．小李现年25岁，其欲购买一份10年期每年年初给付10000元的生存年金，设i=6%，则该年金的精算现值为（　　）元。（已知换算函数N₂₅=3762125，N₃₅=1985692，D₂₅=228385）

A．77765.36

B．77770.37

C．77775.38

D．77782.39

E．77790.40

【答案】D

【解析】该年金的精算现值为：

10000=10000×=10000×=77782.39（元）

36．在90岁时开始给付的期初生存年金，每年给付一次，每次给付1元。又=100，=72，=39，=0，利率=0.06。Z表示年金的现值。则现在需要存入的最少资金额为（　　）元，能使得100个被保险人在未来得到给付的概率为95%。

A．214.8475

B．214.8476

C．214.8477

D．214.8478

E．214.8479

【答案】C

【解析】设未来总的给付额为X，需存入的最低资金为B。

因为Z=，=1，P(k=0)==0.28，=1+v=1.943396，

P(k=1)==（l₉₀－l₉₁）/l₉₀＝0.33，=1+v+v²=2.833393，

P(k=2)==（l₉₁－l₉₂）/l₉₁＝0.39，

即P(Z=1)=0.28，P(Z=1.943396)=0.33，P(Z=2.833393)=0.39。

所以E(Z)=2.026344，Var(Z)=0.551235，

E(X)=100E(Z)=202.6344，Var(X)=100Var(Z)=55.1235

故P(X≤B)=P(≤)=0.95，

解得：B=214.8477。

37．记Y=(0≤k＜∞)，Z=(0≤k＜n)，已知i=0.06，=0.20755，=6，则E(Y)－E(Z)=（　  ）。

A．2

B．3

C．4

D．7

E．10

【答案】D

【解析】因为0.0566，===14，

所以=1+=1+6=7，故E(Y)－E(Z)=－=14－7=7。

38．年龄为x岁的人投保了期初终身生存年金，每年给付一次，每次给付1元。Y为年金给付额的现值。已知=10,=6，。则方差Var(Y)=（ 　 ）。

A．104

B．105

C．106

D．107

E．108

【答案】C

【解析】因为，=1－=1－10/25=0.6，

==0.5296，

所以。

39．现年30岁的王先生每月初可领取生存年金240元，设i=6%，则在UDD假设下，其终身生存年金，及延期10年的终身生存年金的精算现值分别为（　  ）元。（已知换算函数N₃₀=2743767，N₄₀=1422017，D₃₀=170037.8，D₄₀=93942.94）

A．23347.20；23347.20

B．23347.20；45137.18

C．45137.18；23347.20

D．45137.18；45137.18

E．45137.18；45347.20

【答案】C

【解析】因为d=i/(1+i)，有：

=1.00028095，=－0.46811888

所以

①其终生年金的精算现值为：

　 

=45137.18（元）；

②其延期10年的终身生存年金的精算现值为：

=23347.20（元）。

40．现年27岁的被保人要获得一个60岁到期的100000元生存给付，则其每年应存入（　　）元。（换算函数N₂₇=3318442，N₆₀=305710.4，D₆₀=26606.02）

A．113.23

B．383.12

C．583.12

D．883.12

E．950.12

【答案】D

【解析】设其每年应存入P元，因为=100000，而=113.23496，

所以P=100000/=883.119（元）。

41．已知：A_x＝0.3，A_x+10=0.4，，i＝2.5%。则=（　　）。

A．20.092

B．21.092

C．22.092

D．23.092

E．24.092

【答案】B

【解析】由于=，则由已知，得10年定期寿险精算现值为：

则10年定期两全保险精算现值为：

根据定期寿险与年金的函数转换关系，得：

故由定期生存年金期初支付与期末支付之间关系，得：

=21.812－1+0.28=21.092

42．（50）岁的人投保半年期初给付的终身生存年金。已知q₅₀=0.02，i=2.5%，，假定年内死亡服从均匀分布，则该生存年金的精算现值=（　　）。

A．20.978

B．21.932

C．22.056

D．22.789

E．23.758

【答案】A

【解析】由连续寿险和离散寿险精算现值之间的关系，得

又由递归公式，得：

A₅₀=vq₅₀+vp₅₀A₅₁==0.48224

根据年金与终身寿险的关系，得：

=21.228

由于，故=20.978。

43．现年35岁的人考虑购买三种生存年金：

（1）月度给付终身生存年金，其精算现值为P₁；

（2）月度给付15年延期终身生存年金，其精算现值为P₂；

（3）月度给付15年定期生存年金，其精算现值为P₃。

假设所考虑的三种年金均于每月月初给付，每次给付1000元。且已知：年利率为i=6%，=15.695458，=10.198933，₁₅E₃₅=0.4038336。则P₁+P₂+P₃=（　  ）。

A．32478.3

B．34589.2

C．365561.9

D．38796.2

E．45123.2

【答案】C

【解析】i=6%，则d=，=0.0584106，

=0.0581277。

故  =1.000281；

=0.468121；

=15.695458－10.198933=5.496525。

所以

P₁ =12000=12000[α(12)－β(12)]

=12000×(1.000281×15.695458—0.468121)

=182780.97；

P₂ =12000=12000[α(12)－β(12)₁₅E₃₅]

=12000×(1.00028×5.496525－0.468121×0.4038336)

=63708.32；

P₃=12000=12000[α(12)－β(12)(1－₁₅E₃₅)]

=12000×[1.000281×10.198933－0.468121×(1－0.4038336)]

=119072.65。

故P₁+P₂+P₃=182780.97+63708.32+119072.65=365561.94。

44．（x）岁的人购买每年初付1的终身生存年金，记年金的现值变量为Y。且已知：A_x=0.5，=6，i=1/19。则Var(Y)=（　  ）。

A．55

B．66

C．77

D．88

E．99

【答案】B

【解析】已知i=1/19，则。记为2δ所对应的贴现率，则有：

，即=2d－d²。

所以  =6，解得：²A_x=0.415。

故。

45．有一寿险产品，在每年期初给付1000元生存年金，并在死亡年末给付H元死亡赔付金。假定贴现率d＝5%，要使该寿险产品赔付现值变量的方差达到最小，则H=（　　）。

A．10000

B．15000

C．20000

D．25000

E．30000

【答案】C

【解析】记该寿险产品现值变量为J，则

所以该变量的方差为：

要使Var(J)最小，则，解得：H=20000。

即H=20000时，Var(J)达到最小值Var(J)=0。

46．（x）的人购买期初支付3年定期生存年金，已知利率i＝0.025，每年期初支付金额和存活概率如表3-2所示。

表3-2  每年期初支付金额和存活概率表

记该年金现值变量为Y，则Var(Y)=（　　）。

A．54.349

B．55.368

C．56.123

D．57.896

E．60.723

【答案】A

【解析】设每年年金支付额为b_k（k=0，1，2），

则该年金现值变量的期望为：

=5×(1－0.9)+(5+15×1.025^-1)×0.9×(1－0.95)+(5+15×1.025^-1+10×1.025^-2)×0.9×0.95

=26.308；

E(Y²)=

=5²×(1－0.9)+(5+15×1.025^-1)²×0.9×(1－0.95)+(5+15×1.025^-1

 +10×1.025^-2)²×09×0.95

=746.460，

故该年金现值变量的方差为：

Var(Y)=E(Y²)－[E(Y)]²=746.460－26.308²=54.349

47．甲在30岁时继承一笔10万元的遗产，该遗产的给付方式是前10年以确定性年金的方式每年年初给付K元，10年之后以生存年金的方式每年年初给付K元，直至甲生命终止。已知i＝2.5%，A₄₀＝0.3，A₃₀=0.25，=0.08，则K=（　  ）元。

A．3542.73

B．3692.85

C．3755.42

D．3982.45

E．4012.12

【答案】B

【解析】由已知条件知：甲获得的10年确定性年金和10年延期终身生存年金的精算现值之和正好等于遗产现值10万元，即

=100000

已知i=2.5%，所以v=(1+i)^-1=1.025^-1，d=i/(1+i)=0.025/1.025，

×1.025=8.971。

根据年金精算现值和趸缴纯保费的关系，得：

根据公式，得：

所以  =₁₀E₃₀·=0.5667×28.7=16.263。

故甲每年年初获得的给付金为：

=3962.85（元）

48．（40）岁的人购买10年延期终身生存年金。已知每年年初支付1，死亡服从ω＝100的de Moivre分布，且利率i=0。记被保险人获得的实际受益金额现值为Y，年金精算现值为E(Y)，则Pr[Y>E(Y)]=（　  ）。

A．0.4722

B．0.4833

C．0.4966

D．0.5201

E．0.5372

【答案】B

【解析】已知i=0，所以v=(1+i)^-1=1。对于x岁的人，其余命T=，故：

，s(x)=（）

所以；

故该生存年金精算现值为：

==21.25。

而被保险人获得的受益现值变量为：

由于v=1，所以受益现值变量即为：

这意味着被保险人的实际受益金额现值大于年金精算现值的概率就等于支付年金的期数大于21次的概率，即

=₃₁p₄₀==0.4833。

49．（x）岁的人购买期初付终身年金，每年年初付1，已知q_x=0.02，q_x+1=0.03，i=0.025，=8.12。若p_x+1减小了0.02，则生存概率改变前后精算现值的差量为（　　）。

A．－0.130

B．0.130

C．－0.141

D．0.141

E．0.163

【答案】D

【解析】由递归方程，得：

在生存概率未改变之前：

在生存概率改变之后：

故  ，

所以  。

因此，生存概率改变前后精算现值的差量为：=8.764－8.623=0.141。

50．一种10年期的债券，每年年末支付票息50元，10年末的偿还值为1000元。T作为随机变量，代表这张债券的剩余有效时间，它服从指数分布0.02e^-0.02t（0≤t＜∞）。则下列计算中正确的是（　　）。

（1）这张债券在10年末之前失效的概率为0.8187；

（2）债券的价格定义为所获得的现金流的精算现值，若利率为i=0.06，则此债券的价格应为790.63元；

（3）若此债券的价格为1000元，则当时市场利率为0.083。

A．（1）

B．（2）

C．（3）

D．（2）（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】B

【解析】（1）P(T＜10)=1－P(T＞10)=1－e^-0.02×10=0.1813；

（2）由已知条件，得

=50×+

=790.63；

（3）因为债券的价格等于其偿还值，所以收益率等于其票息率。

即

解得：i=0.029。

51．已知=0.01419，_nE_x=0.54733，i=0.05，假定死亡在年内均匀发生，则=（　  ）。

A．9.036

B．9.038

C．9.041

D．9.051

E．9.053

【答案】A

【解析】已知i=0.05，所以=0.049089，

=0.048494。

所以

=1.00018，

=0.38269。

而由，得：

=9.2081

故 

=1.00018×9.2081－0.38269×(1－0.54733)

=9.036。

52．（x）购买延期20年的3年定期初付生存年金，已知₂₀p_x=0.6，i=0.05，生存给付和相关年度存活概率如表3-3所示。

表3-3  生存给付和相关年度存活概率

则生存赔付超过期望赔付的概率为（　　）。

A．0.45

B．0.54

C．0.72

D．0.85

E．0.89

【答案】B

【解析】使用现时支付法，假定赔付现值变量为Y，则

E(Y)=v²⁰·₂₀p_x

=v²⁰₂₀p_x

=

。

而赔付现值变量的现值为：

所以Pr[Y＞E(Y)]=Pr(Y＞8306.95)=Pr(k≥21)=_21|p_x=₂₀p_x·p_x+20=0.6×0.9=0.54。

53．已知：=10，=5，=15，i=0.05。则=（　　）。

A．0.35

B．0.38

C．0.40

D．0.43

E．0.45

【答案】D

【解析】由已知得：=10－5=5。

根据年金精算现值和精算积累值的关系，得：，

所以，

故

。

54．已知，则等于(　  )。

A．0.4143

B．0.4619

C．0.6517

D．0.7143

E．0.7619

【答案】A

【解析】由年初付年金和年末付年金精算现值的关系，有

由趸缴纯保费和年金精算现值的关系，有：

由于两全保险由定期保险和生存保险构成，故：

55．期末付终身生存年金受领人（x）每年末支付１，年金现值随机变量为Ｙ，则Ｙ的方差为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】因为Y=(1－v^K)/i=(1－(1+i)v^K+1)/i,

所以Var(Y)=Var{[1－(1+i)v^K+1]／i}

=。

56．已知Y为n年定期年金现值随机变量，且满足：

其中，。则期末付n年期定期年金现值随机变量的方差为（　　）。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

A．（1）（4）

B．（2）（3）

C．（1）（2）

D．（2）（4）

E．（2）（3）（4）

【答案】A

【解析】因为

而E(Z₁)=(1+i)E(v^K+1)=(1+i)，E(Z₂)=E(vⁿ)=vⁿp_x，Z₁Z₂=0

，，

=E(Z₁Z₂)－E(Z₁)E(Z₂)=。

从而。

57．已知利率为6％，=9.773038。则65岁退休教授的每月1000元的期初付终身生存年金的精算现值为（　  ）元。

A．111150

B．111320

C．111523

D．111692

E．111776

【答案】D

【解析】由已知，得d==0.056604，故：

，

0.058128

=0.46812

由=9.773038，

故（元）。

58．有一份按年递增的期初付终生生存年金，第一年金额为100元，第二年为200元，以后每过一年给付金额增加100元，i=0.06，其生存模型如表3-4所示。则该年金的精算现值为（　　）元。

表3-4  生命表

A．139.979

B．239.979

C．339.979

D．439.979

E．539.979

【答案】C

【解析】根据已知，有：v=1/(1+i)=1/1.06，。

所以该年金的精算现值为：

=339.979（元）。

59．考虑一份残疾保险索赔，给定如下条件：

（1）索赔者将获得每年20000元连续支付，只要他保持残疾；

（2）支付的年数是服从分布的随机变量，具有参数α=2和θ=1；

（3）支付立即开始；

（4）δ=0.05。

则在残疾发生时该残疾给付的精算现值为（　　）元。

A．37

B．38

C．39

D．40

E．41

【答案】A

【解析】因为=

=

=

=

=[1－()²]=1.85941，

所以在残疾发生时该残疾给付的精算现值为：20000×1.85941=37.188。

60．设死力μ=0.05，利力δ=0.05，则超过的概率是（　　）。

A．0.3

B．0.4

C．0.5

D．0.6

E．0.7

【答案】C

【解析】因为

=

=

=

=

=10，

所以

(＞)=P(＞10)

=P(1－ν^T＞10×0.05=0.5)

=P(ν^T＜1－0.5=0.5)

=P(T＞13.86)

=

=e^{－13.86×0.05}

=0.5。

说明：此题与2008年真题类似。

61．已知：μ_x(t)=0.03，δ=0.05，g=。则P(＞－g)=（　  ）。

A．0.15

B．0.26

C．0.39

D．0.54

E．0.79

【答案】E

【解析】=，

===0.375，

===0.23077，

=

=

=6.0048，

Pr[＞－g]=Pr[＞12.5－6.0048]

=Pr[＞6.4952]

=Pr[T＞7.85374]

=e^{－0.05×7.837457}

=0.79。

62．某人购买了一个3年定期生存年金，支付方式为年初支付，生存给付金额及各年生存概率如表3-5所示。

表3-5  生存给付金额及各年生存概率表

假设贴现因子v=0.5，现值变量为Y，则=（　  ）。

A．0.6425

B．0.7835

C．0.7962

D．0.8250

E．0.9462

【答案】B

【解析】由已知条件知，此为给付金额逐年递增的定期生存年金，记该险种的精算现值为，年金给付额为b_k（k=0，1，2），则该生存年金精算现值为：

=

=1×0.3+(1+2v)×0.7×0.4+(1+2v+3v²)×0.7×0.6

=0.3+0.56+1.155＝2.015

由于此人所得生存年金现值只有三种情况：

所以，只有当剩余寿命超过两年，即k≥2时，此人所得生存年金现值才能超过E[Y]，故  Pr[Y＞E(Y)]＝Pr[K≥2]=p_x·p_x+1＝0.42。

根据已知条件，有：

E(Y²)＝1²×0.3+(1+2v)²×0.7×0.4+(1+2v＋3v²)²×0.7×0.6＝4.59625；

则Var(Y)＝E(Y²)－[E(Y)]²＝4.59625－2.015²＝0.536025。

故==0.7835。

63．（x）岁的人购买终身生存年金，每年连续给付1。已知死力μ与利力δ恒定，且δ=3μ，=12.5。则该生存年金现值变量的方差=（　  ）。

A．18.423

B．19.478

C．21.096

D．22.321

E．24.958

【答案】D

【解析】由于死亡力与利息力恒定，则，，，

所以  ==12.5，解得：μ=0.02，δ=3μ=0.06。

故  =；

=。

所以。

64．已知死力μ及利力δ均为常数，且δ＝2μ，。则μ=（　  ）。

A．1

B．2

C．3

D．4

E．5

【答案】B

【解析】由已知条件得：

，；

；

。

故  ，

解得：μ=2。

65．一组（x）岁的人投保终身连续生存年金，已知其中60%的人体重正常，另外40%的人体重超重，对于体重正常的人来说死力恒定为μ₁＝0.02；对体重超重的人来说死力恒定为μ₂＝0.05。假定利力为常值δ=0.05，每年连续生存给付为1，则这一人群组的赔付现值变量的方差为（　　）。

A．28.16

B．38.14

C．39.72

D．40.65

E．41.00

【答案】B

【解析】设体重正常的概率为p'=0.6，超重的概率为p''=0.4，由于死力和利力恒定，故

①对于体重正常的人，有：

=，

=；

②对体重超重的人，有：

=，

=。

故对于整组人来说，利用全概率公式，有：

=0.3714；

=0.2333。

所以=38.14。

66．（x）岁的人购买了一个连续型终身年金，已知死力与利力相同，μ＝δ＝0.05，则赔付现值超过赔付精算现值的概率为（　  ）。

A．0.2

B．0.3

C．0.5

D．0.8

E．1.2

【答案】C

【解析】设赔付现值为，赔付精算现值为，由已知条件，得：

，，，故

=10

所以赔付现值超过赔付精算现值的概率为：

=0.5。

67．已知δ＝0.05，且当0≤T≤10时，μ₁＝0.02；当T＞10时，μ₂＝0.03，则=（　  ）。

A．11.59

B．12.64

C．13.05

D．13.21

E．13.40

【答案】D

【解析】死力和利力恒定，故有，。

解法①：使用总额支付法

=

=

=0.3301，

根据终身寿险与年金之间的函数关系，得：

=。

解法②：使用现时支付法

=

=

=

=13.40。

68．建立一笔基金，用以支付1000人的终身生存年金，每人每年将获得10000元连续生存给付，直至死亡。假设这1000人剩余寿命相互独立，且已知δ=0.05，_x＝0.50，²_x＝0.30。则要有95%的概率保证基金足够支付生存给付，基金现值至少为（　　）元。

A．9.7248×10⁷

B．9.9875×10⁷

C．1.0012×10⁸

D．1.0232×10⁸

E．1.0284×10⁸

【答案】D

【解析】由已知条件得：

=；

=。

对于每一个个体而言，每年要给付年金10000元，故每个个体的赔付现值变量的均值和方差分别为：

E(Y)=E(10⁴)=10⁴E()=10⁵，

Var(Y)=Var(10⁴)=10⁸Var()=2×10⁹。

对于1000人的群组而言，总赔付现值变量设为S，第i个人的赔付现值变量为y_i，则S=y₁+y₂+…+y₁₀₀₀，由于每个个体间独立同分布，所以有：

E(S)=1000E(Y)=10⁸，Var(S)=1000Var(Y)=2×10¹²。

假设基金现值为C，在大样本正态假定下，要有95%的概率保证基金足够覆盖赔付，即

Pr(S≤C)=95%，将其标准正态化，得：

Pr=95%

故=Z_0.95=1.645，即=1.645，解得：C=1.0232×10⁸（元）。

69．一个30岁的人买了一个5年定期寿险，第一年年初付款1，以后每年各付款3，5，7，9。已知：=3.5，=3.1，=8.4，=7.2，则其趸缴纯保费为（　　）。

A．17.5

B．17.9

C．18.5

D．19.9

E．20.3

【答案】C

【解析】该定期寿险可以看成是两种保险的组合：一个是5年定期每年初付1元的年金，另一个是在前四年末分别支付2，4，6，8的递增年金。

所以该定期寿险的精算现值为：

APV==3.1+1+2×7.2=18.5。

70．（20）岁的人购买一寿险产品，该产品约定在被保险人存活期内每年连续给付1000元，死亡即刻给付3000元。已知A₂₀=0.15，=0.33，i=2.5%，假定在分数年龄死亡服从均匀分布，记该寿险产品现值变量为J，则E(J)+=（　  ）。

A．34801.97

B．40532.16

C．50423.87

D．55855.18

E．79603.96

【答案】D

【解析】由已知得：=ln1.025，

，

则该变量的均值和方差分别为：

；

。

根据已知条件和死亡年末赔付与死亡即刻赔付之间的函数关系，得：

；

。

所以E(J)=40497.9－37497.9×0.1519=34801.97；

Var(J)=37497.9²(0.3383－0.1519²)=443237464.2。

故E(J)+=34801.97+=55855.18。

71．假定寿命服从μ=0.04的常值死力分布，利力δ=0.05，记终身连续生存年金现值变量为Y，则（　　）。

A．14.21

B．16.05

C．17.05

D．18.32

E．19.64

【答案】B

【解析】由于死力和利力都为常值，则，，。

解法①：

在常值死力分布下，有：

=11.11；

==7.14

则，

故11.11+=17.05。

解法②：

在常值死力分布下，有：

，

所以；

，

所以，

故11.11+=17.05。

72．假定寿命服从ω=100的de Moivre分布，利息力δ=0.05，则++=（　  ）。

A．22.44

B．26.89

C．28.92

D．29.45

E．32.78

【答案】C

【解析】对于x岁的人，其余命T=，则：

，s(x)=（）

由于，所以

①，

故  。

②对于30年期的两全保险，可将其死亡赔付现值变量z分解为30年定期保险死亡赔付现值变量z₁和到期生存保险赔付现值变量为z₂，即z=z₁+z₂。则有：

E(z₁)=；

由于，所以

，

E(z)=，

故  ；

③。

所以++=14.46+13.01+1.45=28.92。

73．记Y为连续型终身生存年金现值随机变量，已知：，=5，，则Var(Y)=（　　）。

A．13.42

B．15.00

C．15.42

D．16.72

E．19.45

【答案】B

【解析】设利力为，则，，

解法①：

对于常值死力分布，有：

=5，

==4，

两式联立，解得：μ=3/20，δ=1/20。

所以  。

解法②：

由于=5，

==4，

两式联立，解得：μ=3/20，δ=1/20。

所以，

，

故。

74．假设Pr{K(x)=k}=0.06(0.94)^k，k=0，1，2，…，利率为常数6%，则=（　　）。

A．0.19

B．0.26

C．0.35

D．0.49

E．0.51

【答案】E

【解析】因为终身寿险趸缴纯保费为：

则Pr(v^k+1>A_x)=Pr[K+1<ln(A_x)／(－δ)]=，其中s=ln(A_x)／(－δ)－1=10，

故Pr(v^k+1>A)==1－0.94¹¹=0.4937，

又因为，，

故

=1－0.4937=0.5063。

75．年金的现值随机变量为Y，则离散型n年期期末付年度递减生存年金的精算现值为（　　）。

A．

B．

C．　 

D．

E．

【答案】D

【解析】因为

其中K=[T(x)]，记相应的精算现值为，

由总额支付法得：

76．某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始，每年年初一次，给付额在第一年为5000元，第二年为5500元，第三年为6000年，即给付额每年增长500元。则这笔年金的精算现值为（　  ）。

A．5000+500(Ia)₅₀

B．4500a₅₀+500(Ia)₅₀

C．5000a₅₀+500(Ia)₅₀

D．4500a₅₀+500(I)₅₀

E．4500+500(I)₅₀

【答案】B

【解析】依题意，支付额情况如图3-1所示。

图3-1  支付额情况

将此年金分解为一个每年支付4500元的等额年金加上一个以500元开始每年增长500元的等差递增年金。其精算现值为：APV=4500a₅₀+500(Ia)₅₀。

77．某人在40岁时购买了一份10年期变额年金，从41岁起，每年的给付额依次为10000、8000、6000、4000、2000、2000、4000、6000、8000、10000元。假设预定利率为6%，则这一年金的精算现值为（　　）。

A．2000[+]

B．2000[+]

C．2000[+]

D．2000[+]

E．2000[+]

【答案】A

【解析】这是一个等差递增年金和一个等差递减年金的组合，前5年是递减年金，后5年是递增年金，其精算现值为：

78．黄先生现年60周岁，其女儿为他购买了即期终身生存年金保险，保单规定第一年支付保险金额6000元，以后每年递增100元，直到他80周岁时，保险金额保持不变。年金在期初支付，则该生存年金的趸缴纯保费为（　　）。

A．－

B．

C．　 

D．+

E．

【答案】B

【解析】此生存年金的趸缴纯保费可表示为：

或。

79．已知为死亡所在的1/r年度末支付保险金的终身寿险的趸缴纯保费，为在每个1/r年度初支付的终身生存年金的趸缴纯保费，则=（　　）。

A．0

B．0.5

C．1

D．1.5

E．2.0

【答案】C

【解析】设(x)的未来余命T有整数k个1/r年的时间段，则(x)的每年支付r次、每个1/r年年初支付1/r个单位金额的终身生存年金的现值随机变量为：

。

故其精算现值为：

，

即  =1。

80．设T(x)在（0，100）上均匀分布，利息强度为常数0.06，则=（　　）。

A．13.481

B．13.586

C．13.690

D．13.743

E．13.896

【答案】E

【解析】由已知得：f_T(x)=1/100。

因为===，

根据生存年金与保险的关系得：=13.89577。

81．对于连续型终身生存年金，已知=100000(100－x)，0≤x≤100，i=6%，则=（　  ）。

A．12.527

B．12.630

C．12.733

D．12.836

E．12.938

【答案】C

【解析】由已知得：=，v=(1+i)^-1=1.06^-1。

则==

=

=

=12.73326。

82．考虑30年期生存年金，已知=100000(100－x)，0≤x≤100，i=6%。则=（　  ）。

A．12.254

B．13.458

C．13.561

D．14.263

E．15.267

【答案】A

【解析】由已知得：=，v=1/(1+i)。

==

=

=－

=12.25369。

83．对于5年延期的终身生存年金，已知=100000(100－x)，0≤x≤100，i=6%，则=（　  ）。

A．7.1586

B．7.2590

C．7.3492

D．7.3595

E．7.4599

【答案】E

【解析】由已知得：=，v=1/(1+i)，

所以==

=

=－

=7.459896。

84．已知：

。

则=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】因为，，

=，

所以

。

故。

85．设T为（x）未来寿命随机变量，已知：

则下述用g，h表示出的正确表达式为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E

【解析】

因为δ=0，所以i=0，

所以=，

=2g。

又

=2g－

解得：=。

86．对于（35）岁死亡即刻赔付的25年定期寿险，给付额在(35+t)岁死亡情况下为，0≤t≤25。则下述简化表达式中可正确表示出趸缴纯保费的是（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】解法①：由题意知，趸缴纯保费为：

；

解法②：

其趸缴纯保费为：

87．下列表达式中正确的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】A项错误：

因为；

B项正确：

因为，

所以，

又因为，

所以

，

故

；

C项错误：

；

D项错误：

；

选项E错误：

。

88．某基金建立对100名年龄为岁的独立生命支付年金。每名成员将以连续方式获得每年110000元的年金，直至其死亡，已知：δ=0.06，=0.40，=0.25。

采用正态近似方法，要使得该基金以0.90的可能性足以支付，则该基金需要的数额为（　　）百万元。

A．9.74

B．9.96

C．10.30

D．10.64

E．11.10

【答案】D

【解析】E[Y_AGG]=100E[Y]

=100×10000

=100×10000

=10，

=

=

=

=50000，

==10×50000=500000，

所以0.90=Pr[＞0]

1.282=

故F=1.282+E[Y_AGG]

=1.282×500000+10

=10.641（百万元）。

89．关于(x)的一份年支付额为l的连续型终身生存年金，已知：

（1）T(x)是(x)未来寿命的随机变量；

（2）利力与死力都为常数并且相等；

（3）=12.50。

则的标准差为（　　）。

A．7.0

B．7.2

C．7.5

D．7.6

E．7.9

【答案】B

【解析】由12.50==，故μ+δ=0.08，所以μ=δ=0.04，==0.5，==，==52.083，

故==7.217。

90．对于一连续型终身生存年金，已知：δ=0.01，死力服从均匀分布U[0.01，0.02]。则此年金的精算现值为（　　）。

A．40.5

B．41.4

C．42.5

D．43.6

E．44.3

【答案】A

【解析】====。

依题意可知：

此年金精算现值=

=

=40.5。

91．对于（30）的连续型终身生存年金，T（30）是其未来余命随机变量，并且利息力与死力均为常数，已知=3，=12.5，则=（　  ）。

A．22.32

B．28.06

C．36.04

D．44.02

E．58.06

【答案】A

【解析】因为=12.5，

又3得：=0.06，。

=0.25，

。

故=22.321。

92．已知：=1000，=800，=700，=0.04，并且～之间的死亡率服从均匀假设，～之间的死亡率服从指数假设，则（）购买的两年定期寿险金额为1，死亡时立即支付的趸缴保费是（　　）。

A．0.1432

B．0.1526

C．0.2025

D．0.2456

E．0.2831

【答案】C

【解析】所求趸缴保费为：

=

=

=0.1961+0.0326×

=0.1961+0.0326×

=0.2025。

93．设随机变量T=T(x)的概率密度函数为f(t)=0.01e^-0.01t（t≥0），利率δ=0.05，则其精算现值=（　　）。

A．8.21

B．10.28

C．11.32

D．16.67

E．20.39

【答案】D

【解析】由f(t)=0.01e^-0.01t，

=e^-0.01t，故

==16.67。

94．现年35岁的李先生，购买按连续方式给付年金额2000元的生存年金，利率i=6%，则在UDD假设下的延期10年的20年定期生存年金的精算现值是（　　）元。

（设,,,）

A．12067.60

B．12465.84

C．12857.67

D．12967.69

E．13067.72

【答案】B

【解析】因为i=0.06,则=ln(1+i)=0.058269,

在UDD假设下的延期10年的20年定期生存年金的精算现值为：

2000=2000×2000

=2000×+0.06××(0.0114529－0.0499185)]

=12465.84（元）。

95．已知=10，=0.532806。Var=50，则精算现值=（　　）。

A．0.394

B．0.495

C．0.496

D．0.597

E．0.698

【答案】E

【解析】因为===50，解得δ=0.0302，

所以=1－=1－0.0302×10=0.698。

96．已知x服从[0，110]上的均匀分布，利力恒定为δ＝0.05，则（30）所购买的连续生存年金的精算现值为（　　）。

A．15.092

B．15.125

C．16.001

D．16.725

E．17.000

【答案】A

【解析】由已知得： 。对于x岁的人，其余命T=，则：

（）

解法①：总额支付法

；

解法②：现时支付法

；

解法③：利用寿险与年金的关系

由于，

故。

97．（x）的人购买1单位的连续终身生存年金，已知μ=0.04，δ=0.06。则下列计算中正确的是（　　）。

（1）=10；

（2）的标准差为38.58；

（3）P（>)=0.46。

A．（1）

B．（2）

C．（3）

D．（2）（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】A

【解析】死力恒定，故。

（1）=10；

（2）由已知条件得：

；

，

则  ，

所以  ；

（3）由（1）得：

由于余命T满足常值死力假设，故  ，

所以。

98．已知：=8，=5，δ=0.05。则=（　  ）。

A．42

B．56

C．65

D．72

E．88

【答案】B

【解析】由于，即  。

同理，由，得：

故。

99．设Y为一现值变量，且

则E(Y)－=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】由已知得：

，

故E(Y)－=。

100．记Y为连续型终身生存年金现值随机变量，已知：

，＝6.25

则Var()=（　  ）。

A．13.4

B．14.4

C．15.4

D．16.4

E．17.4

【答案】C

【解析】由于服从常值死力假设，故

，

已知δ=0.07，故μ=0.02；

从而

，

；

故=。

101．T(x)在(0，100)上服从均匀分布，利息强度为常数0.06，则将超过的概率为（　　）。

A．0.139

B．0.155

C．0.300

D．0.523

E．0.701

【答案】E

【解析】由已知，有

，，=，

=1－

而==29.904，

故=1－=0.701。

102．已知l_x=100000(100－x)，0≤x≤100和i=6％，则和分别为（　　）。

A．12.25；5.42

B．12.02；7.46

C．12.25；7.46　 

D．12.77；7.46

E．12.25；12.73

【答案】C

【解析】，根据公式有

=12.25369；

。

103．已知某人的生命具有常数死亡力μ=0.04，设利息力δ=0.06，则Pr（>)=（　  ）。

A．0.45

B．0.54

C．0.56

D．0.65

E．0.78

【答案】B

【解析】由已知条件得：

，

所以。

故

=0.54。

104．对于连续型生存年金，已知死力μ=0.02为常数，利力δ=0.03，则下列结论正确的为（　　）。

A．终身生存年金的趸缴纯保费=10

B．终身生存年金的趸缴纯保费=15

C．超过的概率为0.41

D．超过的概率为0.59

E．终身生存年金现值的标准差为10

【答案】E

【解析】由已知条件得：

① 

=20；

②  由①得，超过的概率为：

；

③由于

；

。

故，

所以标准差为：=10。

105．已知一个生存函数中的死亡力μ=0.02为常数，年金中的利力δ=0.03，则延期10年后的20年定期生存年金的趸缴纯保费=（　　）。

A．7.67

B．7.85

C．7.95

D．8.12

E．8.49

【答案】A

【解析】利用现时支付法计算：

。

又，，

故

=7.668。

106．设随机变量T=T(x)的概率密度函数为f(t)=0.015e^-0.015t（t≥0），利息力δ=0.05。则基金足够用于实际支付年金的概率为（　  ）。

A．31.42%

B．35.57%

C．37.68%

D．64.43%

E．68.58%

【答案】B

【解析】由f(t)=0.015e^-0.015t得：

_tp_x=

所以

=15.38。

故

=P{－0.05T>－1.4653}=P{T<29.31}

=35.57%。

即基金足够用于实际支付年金的概率为35.57%。

107．离散型n年期末付逐年递减的生存年金的精算现值为（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】记年金的现值随机变量为Y，则

，其中K=[T(x)]。

所以其相应的精算现值为：

=。

108．对于（x）的某定期期初付生存年金，如表3-6所示。假设v=0.9，则该生存年金现值随机变量的方差为（　  ）。

表3-6  某定期期初付生存年金

A．5.0

B．5.4

C．5.8

D．6.2

E．6.5

【答案】C

【解析】由已知，此生存年金的支付不是常数，记该年金现值随机变量为Y，则

所以Pr(0≤T＜1)=q_x=1－p_x=0.2，

Pr(1≤T＜2)=p_xq_x+1=p_x(1－p_x+1)=0.8×0.25=0.2，

Pr(2≤T)=₂p_x=p_xp_x+1=0.8×0.75=0.6。

所以其精算现值为：

E[Y]=2×0.2+(2+3v)×0.2+(2+3v+4v²)×0.6=6.104，

而E[Y²]=2²×0.2+(2+3v)²×0.2+(2+3v+4v²)²×0.6=43.04416，

故其方差为：Var(Y)=E[Y²]－(E[Y])²=5.785。

109．设，并且在每一年内死亡服从UDD假设，则=（　　）。

A．1.42

B．2.46

C．4.45

D．5.55

E．6.48

【答案】C

【解析】因为，，故=0.2。

而=4.68，

故==4.45。

110．设Y是一年金现值随机变量，该年金对()在每年末支付1元，并且在()死亡时支付一个调整额，其中为死亡与上次支付之间的时刻。假设每一年内死亡服从UDD假设。则E(Y)=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】设Y₁为完全年金现值，Y₂为调整额现值，则

E(Y)=E(Y₁)+E(Y₂)=+E(Y₂)

若死亡发生在x+k+t，0<t<1，则调整额现值为。

由于

，

而在UDD假设下，，

所以。

又因为

，

所以

。

故。

111．下列三个表达式中，和相等的有（　　）。

（1）；（2）；（3）E[(1－v^T)/d^(m)]。

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（3）

D．（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】A

【解析】（1）=；

（2）因为=(δ/d^(m))=(i^(m)/d^(m)) =(1+i)^1/m，

所以=(1+i)^-1/m，=；

（3）E[(1－v^T)/d^(m)]=== 。

112．已知=10.25，δ=0.10，则=（　  ）。

A．9.43

B．9.54

C．9.75

D．9.91

E．9.97

【答案】C

【解析】因为,,

所以d⁽²⁾=2[1－]=2（1－e^-0.05）,i⁽²⁾=2[－1]=2（e^0.05－1）。

又有=d⁽²⁾/δ,

所以====9.75。