高等应用数学
上QQ阅读APP看书,第一时间看更新

视野窗口

数学史上的第二次危机无穷小是零吗?

辉煌的数学发展史始终在发现矛盾、解决矛盾的阶梯道路上无畏前行,它永远散发着无穷的魅力,并吸引着古今中外无数为科学不懈追求的有志之士为之奋斗.“无理数的发现、无穷小是零吗?集合论中的悖论”是数学历史上著名的三大危机,其中第二次危机“无穷小是零吗?”这个问题的研究,是创立微积分学的重要过程.

17世纪后期,“微积分学”由英国数学家牛顿(1642—1727)、德国数学家莱布尼茨(1646—1716)创立,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得巨大成功.然而,微积分学产生之初,得到的并非全是掌声,在当时还遭到了许多人的强烈攻击和指责,其中攻击最猛烈的是英国大主教乔治·贝克莱(1685—1753).原因是不管牛顿,还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的,两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小的理解与运用却是混乱的.

贝克莱以“渺小的哲学家”之名于1734年出版了一本标题很长的书:《分析学家或一篇致一位不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达,或更明显的推理》,书中贝克莱对牛顿的理论进行了攻击.例如,他指责牛顿,为计算比如说x2的导数,先将x2取一个不为0的增量Δx,由(x+Δx)2-x2,得到2xΔx+(Δx)2,后再被Δx除,得到2x+Δx,最后突然令Δx=0,求得导数为2x.这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”,因为无穷小在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零,可以称之为招之即来,挥之即去,这是荒谬的.因此,贝克莱嘲笑无穷小是“逝去量的幽灵”.贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的,但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷,切中了要害。

那么“无穷小究竟是不是零?”“无穷小及其分析是否合理?”,这两个问题在数学界甚至哲学界引起了长达一个半世纪的争论和研究,这就是数学史上的“第二次数学危机”.

法国著名数学家柯西(1789—1857)于1821年出版了几本具有划时代意义的书与论文,给出了分析学一系列基本概念的严格定义。例如,他开始用不等式来刻画极限,使无穷的运算化为一系列不等式的推导,这就是极限概念的“算术化”.从而使分析基础严密化的工作向前迈出了第一大步.后来,德国数学家魏尔斯特拉斯(1815—1897)给出更为完善的ε-δ方法.尽管在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上,然而,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善.

之后,魏尔斯特拉斯、戴德金(1831—1916)、康托尔(1845—1918)各自经过自己独立深入的研究,都给出了相应的研究成果,再加上1892年,另一位数学家创用“区间套原理”来建立实数理论.由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作.数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而为微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦打下了牢固的基础,至此第二次数学危机得到了圆满的解决.