1.8.4　闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数具有十分重要的性质，而且在几何上非常直观，首先给出函数最值的概念.

定义8　设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得对于任意x∈I都有

f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））；

那么称f（x0）是函数f（x）在区间I上的最大值（或最小值）.

定理8（最值定理）　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则函数f（x）在[a，b]上必有最大值M和最小值m，即在[a，b]上至少存在一点ξ1和一点ξ2，使得f（ξ1）=M，f（ξ2）=m，且m≤f（x）≤M，x∈[a，b].

注　对于开区间（a，b）内的连续函数或在闭区间[a，b]上有间断点的函数，定理8的结论未必成立.

例如，函数在开区间（0，1）内连续，但在（0，1）内无界.

又如，函数

在闭区间[-1，1]上有间断点x=0，如图1-21所示，显然f（x）在[-1，1]上虽然有界但是既无最大值又无最小值.

定理9（介值定理）　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且设m，M分别为函数f（x）在[a，b]上的最小值和最大值，则对任意c∈[m，M]，在[a，b]上至少存在一点ξ，使得f（ξ）=c.

定理9的几何意义：在闭区间[a，b]上定义的连续曲线y=f（x）与水平直线y=c至少有一个交点，如图1-22所示.

定理10（零点定理）　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）<0，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0.

定理10的几何意义是：在闭区间[a，b]上定义的连续曲线y=f（x），它的两个端点A，B分别位于x轴的两侧，容易想象，作为连接端点A到B的连续曲线y=f（x）至少与x轴有一个交点，交点的横坐标即ξ，如图1-23所示.

例10　证明方程x4-x2-1=0在开区间（1，2）内至少有一个根.

证　设函数f（x）=x4-x2-1，则f（x）为初等函数，且它在[1，2]上连续，又

f（1）=-1<0，f（2）=11>0；

根据零点定理，在区间（1，2）内至少存在一点ξ，使得

f（ξ）=0，ξ∈（1，2）；

即

ξ4-ξ2-1=0.

这个等式说明方程x4-x2-1=0在区间（1，2）内至少有一个根.

例11　设f（x），g（x）都是闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）>g（a），f（b）<g（b），证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=g（ξ）.

证　设F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在闭区间[a，b]上连续.又

F（a）=f（a）-g（a）>0，F（b）=f（b）-g（b）<0，

由零点定理知，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得F（ξ）=0，即f（ξ）=g（ξ）.