2.6 图像的旋转变换

提到旋转，首先要解决“绕着什么转”的问题。通常的做法是：以图像的中心为圆心旋转，将图像上所有的像素都旋转一个相同的角度。图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。和图像平移变换一样，在图像旋转变换中，可以把转出显示区域的图像截去，旋转后也可以扩大图像范围以显示所有的图像。

采用不裁掉转出、部分旋转后图像放大的做法，首先需要给出变换矩阵。在坐标系中，将一个点顺时针旋转a度，r为该点到原点的距离，b为r与x轴之间的夹角。在旋转过程中，r保持不变。

设旋转前（x0，y0）的坐标分别为x0=rcosb，y0=rsinb。当旋转a角度后，坐标（x1，y1）的值分别为

以矩阵的形式表示为

在式（2.6.2）中，坐标系xOy以图像的中心为原点，以右为x轴正方向，以上为y轴正方向。

设图像的宽带为w，高度为h，容易得到

逆变换为

有了式（2.6.1）～式（2.6.4），可以将旋转变换分成3个步骤来完成。

（1）将坐标系x′O′y′变成xOy。

（2）将该点顺时针旋转a角。

（3）将坐标系xOy变回x′O′y′，这样，就得到了如下的变换矩阵（是上面3个矩阵的级联）。

其中，wold、hold、wnew、hnew分别表示原图像的宽、高和新图像的宽、高。式（2.6.5）的逆变换为

这样，对于新图像中的每一点，就可以根据式（2.6.6）求出对应点原图像中的点，并得到它的灰度。如果超出原图像范围，则填成白色。要注意的是，由于有浮点运算，计算出来的点的坐标可能不是整数，需要采用取整处理，即找到最接近的点，这样会带来一些误差（图像可能会出现锯齿）。