![流域降雨径流理论与方法](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/628/23313628/b_23313628.jpg)
1.3 非饱和带土壤中地下水垂直运动基本微分方程组
雨水渗入非饱和带后,其垂直运动规律,可以根据质量守恒与能量守恒建立如下方程组。
1.3.1 连续方程
设在充满液体的渗流区域内,取一无限小的平行六面体,见图1.11,其各边长分别为Δx, Δy, Δz,且与坐标轴平行。由于只研究液体的垂向(z方向)运动,所以取上断面(入流断面)为abcd,下断面(出流断面)为a'b'c'd'。在Δt时间内,通过上断面abcd的流量为Qs,因为Qs为渗流速度vs与断面面积A0的乘积,即Qs=vsA0=vsΔxΔy,则在Δt时间内流入六面体的质量为ρvsΔxΔyΔt。在同一时间内从下断面流出该六面体的流量为,其质量为
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图1.11 渗流区中单元体在Δt时段内沿z方向的质量演变示意图
则在Δt时间内该六面体质量的增加量为
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又六面体内水体所占的体积为NkΔxΔyΔz,其中Nk为土壤体积孔隙度。则在六面体内水的质量为ρNkΔ x Δ y Δ z。在Δ t时段内,六面体内水体质量的变量为,这种储存量的变化,是由于流入和流出该六面体的质量差所造成的。因此,根据质量守恒定律,两者是相等的,即
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若以ρθ代替ρNk,且在非饱和流动所考虑的压力范围内,可以认为水体是不可压缩的,则ρ为常数,故式(1.12)可以改写为
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式(1.13)便是渗流连续方程。
1.3.2 运动方程
设Z为研究点在基准面上的高度,Z表示单位重量水体所具有的位能;P'为研究点上的压强,γ为水的容重,则表示单位重量水体所具有的压强(压能);则
表示单位重量水体所具有的动能。根据能量守恒定律,总能量(水头)H为
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式(1.14)即为著名的伯努利(Bernoulli)方程。式(1.14)中的第1项和第2项为势能,第3项为动能。
在地下水流中,vs的数值很小,且,故
可以忽略不计,则式(1.14)可以改写为
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根据本章第1.2 节的分析可知,潜水面以上的非饱和带为多孔介质,可以设想为无数毛细管,毛细管内的水面形成弯月面。由于毛管力(弯月面力)的作用,产生负压强P',此时。
如果取大气压P0作为量测流体压强的基准,则有
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有时用毛管压力水头hc取代毛管压强有
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将式(1.17)代入式(1.15)得
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由于P'<0,则可以用Φ表示压力水头(水头势)的负值,即,此时式(1.18)改为
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1856年,达西(Darcy)通过饱和土壤渗透实验获得如下关系
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式中:J——水力坡度,J=ΔH/ΔL;
ΔH——水头降落值;
ΔL——渗流长度。
式(1.20)便是人们熟知的达西定律(线性渗透定律)。
在实际地下水流中,水力坡度往往各处不同,所以达西定律更一般的形式为
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由于只研究非饱和带中地下水的垂直运动,且渗透系数ks是土壤含水量θ的函数,即ks=ks(θ),故式(1.21)改为
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其中
Z=Z0+L,
式中:Z0——基准面的高程。
将式(1.19)代入式(1.22)得
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因为毛管压强是土壤含水量θ的函数,则Φ是θ的函数,即Φ=Φ(θ),代入式(1.23)得
![](https://epubservercos.yuewen.com/C5F273/11909782504646506/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0025_0011.jpg?sign=1739270996-mX4Fq0e5d69CUga0QhoIwYQ4RoYmq5m0-0-8b12599f70ca16d00bf8b79fe7126dcc)
式中:Ds(θ)——扩散系数,。
式(1.24)便是非饱和带中地下水运动方程。式(1.24)与式(1.13)合称非饱和带中地下水运动基本微分方程组,该方程组是解决流域产流计算的基本微分方程组。