1.4 激光原理

世界上第一台激光器诞生后，由于激光良好的空间相干性和方向性，如He-Ne激光器的8光束发散角已达3×10-4rad，良好的时间相干性和单色性，如单模稳频气体激光器可达106Hz～103Hz，高亮度，如高功率调Q固体激光器的亮度比太阳表面高出几百万倍，各种科学和技术领域纷纷应用激光并形成了包括信息光电子技术在内的一系列交叉学科和应用技术领域。本节概要介绍激光产生的基本原理。

1.4.1 激光产生的物理基础

1.光子的基本性质

光量子学说（光子说）认为，光是一种以光速c运动的光子流。光子（电磁场量子）和其他基本粒子一样，具有能量、动量和质量。它的粒子属性（能量、动量、质量等）和波动属性（频率、波矢、偏振等）之间的关系如下。

（1）光子能量E与光波频率ν对应：

式中，h=6.626×10-34J·s，称为普朗克常数。

（2）光子具有运动质量m，并可表示为

光子的静止质量为零。

（3）光子的动量P与单色平面波的波矢k对应：

式中，；n0为光子运动方向（平面波传播方向）上的单位矢量。

（4）光子具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振方向。

（5）光子具有自旋特性，并且自旋量子数为整数。因此大量光子的集合，服从玻色-爱因斯坦统计规律。处于同一状态的光子数目没有限制，这是光子与其他服从费米统计分布的粒子（电子、质子、中子）的重要区别。

上述基本关系式为康普顿散射实验所证实，并在现代量子电动力学中得到理论解释。量子电动力学从理论上把光的电磁理论和光子理论在电磁场量子化的基础上统一起来，阐明了光的波粒二象性。在这种描述中，任何电磁场可看成是一系列单色平面电磁波（以波矢k为标志）的线性叠加，即一系列电磁波的本征模式的叠加。但每个本征态所具有的能量是量子化的，即可表示为基元能量hνl的整数倍。本征模式的动量也可表示为基元动量ћkl的整数倍。这种具有基元能量hνl和动量ћkl的物质单元就称为属于第l个本征模式的光子。具有相同能量和动量的光子彼此不可区分，处于同一光子态。每个光子态内的光子数目没有限制。

光子是微观粒子，其运动状态受量子力学测不准关系的制约。对于一维运动情况，微观粒子的坐标和动量测不准关系表示为

式（1-27）意味着处于二维相空间面积元Δx Δ Px≈h内的粒子运动状态在物理上是不可区分的，因而它们应属于同一状态。在三维运动情况下，测不准关系为

故在六维相空间中，一个光子态占有的相空间体积元为h3。这样的相空间体积元称为相格。一相格所占有的坐标空间体积为

2.光子的相干性和光子简并度

为了把光子态和光子的相干性两个概念联系起来，根据电磁场与光子态的关系，下面从光波场的相干性开始讨论。

一般情况下，光的相干性可理解为：在不同的空间点上、不同时刻的光波场的某些特性的相关性，例如光波场相位的相关性。在经典理论中用光波场的相关函数作为相干性的量度。作为相干性的一种粗略描述，常常使用相干体积的概念：若在空间体积Vc内各点的光波场都具有明显的相干性，则Vc称为相干体积。Vc又可表示为垂直于光传播方向的截面上的相干面积Ac和沿传播方向的相干长度Lc的乘积，即

式中，c为真空中的光速；τc=Lc/c是光沿传播方向通过相干长度Lc所需要的时间，称为相干时间。

物理光学表明，光波的相干长度就是光波的波列长度，即

式中，Δt为光源中的独立振子（如发光原子）发光持续时间；Δν是相应的频带宽度。

物理光学中也证明了在图1-5中，由线度为Δx的光源照明的S1和S2两点的光波场具有明显相干性的条件为

式中，λ为光源波长。距离光源R处的相干面积Ac可表示为

如果用Δθ表示S1、S2两点对光源的夹角，则式（1-32）可改写为

并且可得到光源的相干体积

现在再从光子的观点分析图1-5。由面积（Δx）2的光源发出的动量P限于立体角（Δθ）2内的光子，由于光子具有动量测不准量，在Δθ很小的情况下其各分量为

因为Δθ很小，故有Pz≈|P|，因此

如果上述光子处于同一光子态，则光子占有的相格空间体积（即光子的坐标测不准量）为

式（1-38）表明，相格的空间体积等于相干体积。如果光子属于同一光子态，则它们应该包含在相干体积之内。也就是说，属于同一光子态的光子是相干的，不同光子态的光子是不相干的。

相干光强是描述光的相干性的参量之一。从相干性的光子描述出发，相干光强决定于具有相干性的光子数目或同态光子数目。这种处于同一光子态的光子数称为光子简并度。显然，光子简并度具有以下几种相同的含义：同一光子态的光子数、同一模式内的光子数、处于相干体积内的光子数、处于同一相格内的光子数。

3.光的受激辐射基本概念

光与物质的共振相互作用，特别是这种相互作用中的受激辐射过程是激光器的物理基础。在普朗克用辐射量子化假设成功地解释了黑体辐射分布规律，以及玻耳提出原子中电子运动状态量子化假设的基础上，爱因斯坦从光量子概念出发，重新推导了黑体辐射的普朗克公式，认为光和物质原子的相互作用过程包含原子的自发辐射跃迁、受激辐射跃迁和受激吸收跃迁三种过程。为了简化问题，我们只考虑原子的两个能级E1和E2，处于两个能级的原子数密度分别为n1和n2，如图1-6所示。构成黑体物质原子中的辐射场能量密度为ρν，并有

（1）自发辐射

处于高能级E2的一个原子自发地向低能级E1跃迁，并发射一个能量为hν的光子，这种过程称为自发跃迁过程，如图1-7（a）所示。由原子自发跃迁发出的光波称为自发辐射。自发跃迁过程用自发跃迁概率A21描述。A21定义为单位时间内n2个高能态原子中自发跃迁的原子数与n2的比值，即

式中，（dn）sp表示由于自发跃迁引起的由E2向E1跃迁的原子数。

必须指出，自发跃迁是一种只与原子本身性质有关而与辐射场能量密度ρν无关的自发过程。因此A21只决定于原子本身的性质。由于自发跃迁的存在，单位时间内能级E2的粒子数是减少的，因此

代入式（1-40），则得

由此可得

式中，是原子在能级E2的平均寿命，A21也称为自发跃迁爱因斯坦系数。

（2）受激辐射

处于高能级E2的原子在满足ν=（E2-E1）/h的辐射场作用下，跃迁至低能态E1并辐射出一个能量为hν且与入射光子全同光子，如图1-7（b）所示。受激辐射跃迁发出的光波称为受激辐射。受激辐射跃迁概率为

式中，（dn21）st表示由于受激跃迁引起的由E2向E1跃迁的原子数，B21为受激辐射跃迁爱因斯坦系数。

（3）受激吸收

受激辐射的反过程就是受激吸收。处于低能态E1的一个原子，在频率为ν的辐射场作用下吸收一个能量为hν的光子，并跃迁至高能态E2，这种过程称为受激吸收，如图1-7（c）所示。受激吸收跃迁概率为

式中，B12为受激吸收跃迁爱因斯坦系数。

（4）A21、B21、B12的相互关系

为了求得A21、B21、B12的相互关系，现根据上述相互作用物理模型进一步分析空腔黑体的热平衡过程。在热平衡状态下，黑体辐射分配在腔内每一个模式上的平均能量为

腔内单位体积中频率处于ν附近单位频率间隔内的光场模式数为

于是，黑体辐射的普朗克公式可改写为

在热平衡状态，腔内物质原子数按能级分布应服从玻耳兹曼分布

式中，g1和g2分别为能级E1和E2的能级简并度。

在热平衡状态，n2（或n1）应保持不变，于是有

联立式（1-50）、式（1-51）和式（1-52）可得

式（1-53）对所有T>0都应成立，故当T→∞时，有

将式（1-54）代入式（1-53），可得

式（1-54）和式（1-55）就是爱因斯坦系数的基本关系。当能级简并度g1=g2时，有

（5）受激辐射的相干性

受激辐射与自发辐射的重要区别在于相干性。如前所述，自发辐射是不受外界辐射场影响的自发过程。因此，大量原子的自发辐射场的相位是无规则分布的，因而是不相干的。此外，自发辐射场的传播方向和偏振方向也是无规则分布的，也就是说，自发辐射的能量平均分配在腔内所有模式上。

受激辐射是在外界辐射场控制下的发光过程。在量子电动力学的基础上可以证明：受激辐射场与入射辐射场具有相同的频率、相位、传播方向和偏振，因此，受激辐射场与入射辐射场属于同一模式。或者说，受激辐射光子与入射光子属于同一光子态，特别是大量粒子在同一辐射场激励下产生的受激辐射处于同一光场模式或同一光子态，因而受激辐射是相干的。

1.4.2 激光（强相干光）产生的基本原理和方法

由受激辐射和自发辐射相干性的讨论可知，相干辐射的光子简并度很大。我们现在分析一下黑体辐射源的光子简并度。根据式（1-48）有

在室温T=300K的情况下，按照式（1-57）：对于λ=30cm的微波辐射，≈103；对于λ=60μm的远红外辐射，≈1；对于λ=0.6μm的可见光辐射，≈10-35。可见，普通光源在红外和可见光波段实际上是非相干光源。

进一步分析式（1-57）。应用黑体辐射的普朗克公式和爱因斯坦系数的基本关系式，式（1-57）可改写为

由式（1-58）可以看出，如果能够创造这样一种情况，即使得腔内某一特定（或少数几个）模式的ρν很大，而其他所有模式的ρν都很小，就能在这一特定模式（或几个）内形成很高的光子简并度。也就是说，使相干的受激辐射光子集中在某一（或几个）特定模式内，而不是平均分配在所有模式中。激光器就是采取各种技术措施减少腔内光场模式数、使介质的受激辐射恒大于受激吸收等来提高光子简并度的，从而达到产生强相干光的目的。下面分别对其进行讨论。

1.光学谐振腔及其选模作用

为了减少腔内光场模式数，将一个充满物质原子（或分子）的柱体腔（黑体）去掉侧壁，只保留两个端面壁，形成开腔。如果端面腔壁对光的反射系数很高，则沿垂直端面的腔轴方向传播的光在腔内多次反射不逸出腔外，而所有其他方向的光则很容易逸出腔外。这相当于在腔内能够存在的光场模式只有少数几个，达到了光波模式的选择作用。这实际上就是光学中熟知的法布里-珀罗干射仪，在激光原理中称为光学谐振腔。

2.光放大物质的增益系数与增益曲线

下面讨论在有大量原子（或分子）组成的物质中实现光的受激辐射放大的条件。

由式（1-51）可知，因E2>E1，所以n2<n1，即在热平衡状态下，高能级粒子集居数恒小于低能级集居数，当频率ν=（E2-E1）/h的光通过物质时，受激吸收光子数n1W12恒大于受激辐射光子数n2W21。因此，处于热平衡状态下的物质只能吸收光子。

但是，在一定的条件下物质的光吸收可以转化为光放大。这个条件就是n2>n1，称其为粒子数反转。一般来说，当物质处于热平衡状态时，粒子数反转是不可能的，只有当外界向物质提供能量（称为激励或泵浦过程，在1.5节讨论），从而使物质处于非平衡状态时，才可能实现粒子数反转。可见泵浦过程是光放大的必要条件。

处于粒子数反转状态的物质称为激活物质。一段激活物质就是一个光放大器。光放大作用通常用增益（放大）系数G来描述。设在光传播方向上z处的光强为I（z），则增益系数定义为

所以，G（z）表示光通过单位长度激活物质后光强增长的百分数。显然，dI（z）正比于单位体积内激活物质的净受激辐射光子数

假设g1=g2，则

所以

如果（n2-n1）不随z变化，则增益系数为一常数G0，式（1-59）为线性微分方程。积分式（1-59），得

式中，I0为z=0处的初始光强。这就是线性增益或小信号增益的情况，如图1-8所示。

但实际上光强的增加是由于高能级粒子向低能级受激跃迁的结果，或者说光放大是以单位体积内粒子反转数差值n2（z）-n1（z）的减小为代价的。而且，光强越大，n2（z）-n1（z）减少得越多，所以，n2（z）-n1（z）随I的增加而减少，增益系数也随I的增加而减小，这一现象称为增益饱和效应。与此相应，可将单位体积内粒子反转数差值表示为光强的函数，即

式中，Is为由激活物质的性质决定的饱和光强，为光强等于零时单位体积内的初始粒子反转数差值。应用式（1-64），我们可将式（1-62）改写为

或

式中，G0=G（I=0）为小信号增益系数。如果在光放大器中光强始终满足条件I≪Is，则增益系数G（I）=G0为常数，且不随z变化，这就是式（1-63）表示的小信号情况。在条件I≪Is不满足时，式（1-66）表示的G（I）称为大（饱和）信号增益系数。

最后指出，增益系数也是光波频率的函数，一般应表示为G（ν，I）。这是因为能级E2和E1由于各种原因总有一定的宽度，所以在中心频率ν0=（E2-E1）/h附近一个小范围内都有受激跃迁发生。增益系数随频率的变化曲线称为增益曲线，因激活物质的加宽性质不同，增益曲线的线型不同。对于均匀加宽物质，当频率为ν，光强为Iν的准单色光入射时，其小信号增益系数和饱和增益系数分别为

和

式中，为中心频率处的小信号增益系数；ΔνH为增益曲线的宽度。对于非均匀加宽物质，当频率为ν、光强为Iν的准单色光入射时，其小信号增益系数和饱和增益系数分别为

和

式中，Gi（ν0）为中心频率处的小信号增益系数；ΔνD为增益曲线的宽度。两种加宽机制的增益曲线线形分别如图1-9（a）、（b）所示。

3.光的自激振荡

上述光放大器在许多大功率装置中广泛地用来把弱的激光束逐级放大。但在更多的场合下需要用光自激振荡器，通常所说的激光器都指光自激振荡器。

在光放大的同时，通常还存在着光的损耗，我们可以引入损耗系数α来描述。α定义为光通过单位距离后光强衰减的百分数，即

同时考虑增益和损耗，则有

假设有极其微弱的光（光强I0）进入一无限长的放大器。开始光强I（z）将按小信号放大规律增长，但随光强的增加，G（I）将由于饱和效应而按式（1-66）减小，因而光强的增长将逐渐变缓。当G（I）=α时，光强不再增加并达到一稳定的极限值Im（见图1-10）。根据条件G（I）=α，可求得Im为

可见，Im只与放大器本身的参数有关，而与初始光强I0无关。特别是，不管初始光强多么弱，只要放大器足够长，就总能形成确定大小的光强Im，这实际上就是自激振荡器的概念。这就表明，当光放大器的长度足够大时，它可成为一自激振荡器。

实际上，既不需要给激活物质输入一个弱光信号，也不需要真正把激活物质的长度无限增加，而只要在具有一定长度的光放大器两端放置前述的光学谐振腔。这样，沿轴向传播的光波模在两反射镜间往返传播，就等于增加放大器长度。光学谐振腔的这种作用也称为光的反馈。由于腔内总是存在频率在ν0附近的微弱的自发辐射光，沿轴向传播的自发辐射光就相当于输入的信号，它经过多次受激辐射放大就有可能在轴向光波模上产生光的自激振荡，这就是激光器。

可见，一个激光器应包含泵浦源、光放大器和光学谐振腔三部分。其作用分别是使激光物质成为激活物质、对弱光信号进行放大、模式选择和提供轴向光波模的反馈。

一个激光器能够产生自激振荡模的条件，即任意小的初始光强I0都能形成确定大小的腔内光强Im的条件，可由式（1-73）求得：

这就是激光器的振荡条件。式中，G0为小信号增益系数；α为包括放大器损耗和谐振腔损耗在内的平均损耗系数。

当G0=α时，称为阈值振荡情况，这时腔内光强维持在初始光强I0的极其微弱的水平上。当G0>α时，腔内光强Im就增加，并且Im正比于（G0-α）。可见增益和损耗是激光器是否振荡的决定因素。应该特别指出的是：激光器的几乎一切特性如输出功率、单色性、方向性等，以及对激光器采取的技术措施如稳频、选模、锁模等，都与增益和损耗特性有关。

振荡条件式（1-74）也可表示为另一种形式。设工作物质长度为l，光腔长度为L，令αL=δ为光腔的单程损耗，振荡条件可改写为

式中，G0l称为单程小信号增益。

1.4.3 开放式光学谐振腔和高斯光束

在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的光学谐振腔。在激光技术发展的历史上，最早提出的是所谓平行平面腔，它由两块平行平面反射镜组成。这种装置在光学上称为法布里—珀罗干涉仪，简记为F-P腔。随着激光技术的发展，以后又广泛采用由两块具有公共轴线的球面镜构成的谐振腔，称为共轴球面腔。其中一个或两个反射镜为平面的腔是共轴球面腔的特例。理论上分析这类腔时，通常认为其侧面没有光学边界（这是理想化的处理方法），因此将这类腔称为开放式光学谐振腔，或简称开腔。根据光束几何逸出损耗的高低，开腔通常又可分为稳定腔、非稳定腔和临界腔三类。由两个以上反射镜构成谐振腔的情况也是常见的，称为折叠腔和环形腔。

1.腔的损耗

损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，也是腔模理论研究的重要课题。光学开腔的损耗大致包含以下几个方面：

① 几何偏折损耗。光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损耗。其大小取决于腔的类型和几何尺寸。如稳定腔内旁轴光线的几何损耗应为零，而非稳定腔则有较高的几何损耗。以非稳定腔而论，不同几何尺寸的非稳定腔其几何损耗也各不相同，其次，几何损耗的高低因模式的不同而异。

② 衍射损耗。由于谐振腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当光在镜面上衍射时，必将造成一部分能量损失。衍射损耗的大小与腔的菲涅耳数N=a2/λL（a为反射镜片的几何线度，L为腔的长度）有关，与腔的几何参数g有关，而且不同横模的衍射损耗也各不相同。

③ 腔镜反射不完全引起的损耗，包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。为了输出激光，通常至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率还很高（如某些固体激光器的输出镜透射率可以大于50%），另一个反射镜即通常所谓的“全反射镜”，其反射率也不可能做到100%。

④ 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入物（如布儒斯特窗、调Q元件、调制器等）引起的损耗。

无论损耗的起源如何，都可以引进“平均单程损耗因子”δ加以定量描述。其定义如下：如果初始光强为I0，在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1，则

由此得出

如果损耗是由多种因素引起的，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因子δi描述，则有

式中

由式（1-76）不难求得，光强为I0的光束在腔内往返m次后光强变为

如果取t=0时刻的光强为I0，则到t时刻光在腔内往返的次数应为

将式（1-81）代入式（1-80），即可得出t时刻的光强为

式中

称为腔的时间常数，是描述光腔性质的一个重要参数。当t=τR时，有

式（1-84）表明了时间常数τR的物理意义——经过τR时间后，腔内光强衰减为初始值的1/e。从（1-83）式可以看出，腔的损耗越大，腔内光强衰减就越快。

也可以将τR理解为“光子在腔内的平均寿命”。设t时刻腔内光子数密度为N，N与光强I（t）的关系为

将式（1-85）代入式（1-82），得到

式中，N0表示t=0时刻腔内的光子数密度。式（1-86）表明，由于损耗的存在，腔内光子数密度随时间按指数规律衰减，到t=τR时衰减为N0的1/e。在t～（t+dt）时间内减少的光子数密度为。这（-dN）个光子在0～t时间内它们存在于腔内，在经过无限小的时间间隔dt后，它们就不在腔内了。由此可以计算出所有N0个光子的平均寿命为

这表明，腔的损耗越小，τR就越大，腔内光子的平均寿命就越长。

因此对光学谐振腔，也与LC回路一样，采用品质因数Q标志腔的特性。谐振腔Q值的普遍定义为

式中，E为储存在腔内的总能量；P为单位时间内损耗的能量；ν为腔内电磁场的振荡频率；ω=2πν为场的角频率。

如果以V表示腔内振荡光束的体积，当光子在腔内均匀分布时，腔内总储能E为

单位时间光能的减少（即能量损耗率）为

由式（1-86）及式（1-88）～式（1-90），经简单运算后得到

这就是光学谐振腔Q值的一般表示式。由此可以看出，谐振腔的损耗越小，Q值就越高。

2.共轴球面腔的稳定条件

根据开腔中光的几何偏折损耗的高低，引入g参数可方便地描述共轴球面腔的稳定条件

式中，L为腔长；R1、R2分别为两反射镜的曲率半径，当反射镜的凹面朝向腔内时，R取正值，而当凸面朝向腔内时，R取负值。

所有满足条件

的腔为稳定腔。其特点是腔的损耗低。

所有满足条件

的腔称为非稳定腔。其特点是，旁轴光线在腔内经有限次往返后必然从侧面逸出腔外，几何损耗比较高。

所有满足条件

的腔称为临界腔。临界腔是一种极限情况，它们在谐振腔的理论和实际应用中均有重要意义。

具有代表性的临界腔有对称共焦腔、平行平面腔和共心腔。大多数临界腔的性质介于稳定腔和非稳定腔之间，而在共焦腔中，任意旁轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。在这个意义上，共焦腔属于稳定腔之列。以后会看到，整个稳定球面腔的模式理论都可以建立在共焦腔振荡模理论基础之上，因此，共焦腔是最重要和最有代表性的一种稳定腔。如果给定了腔的参数，其稳定性可由图1-11所示的稳定图方便地得到。Ⅰ、Ⅱ为稳定区，Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ为非稳定区，坐标轴及两条曲线上点为临界区。

3.腔模的物理概念和腔内行波

当光在两镜面间往返传播时，一方面受到激活介质的光放大作用，另一方面要经受各种损耗。由于反射镜面有限大小所引起的衍射损耗就是其中之一，在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用。由于腔镜的反射不完全以及介质中的吸收所造成的损耗，将使横截面内各点的场按同样比例衰减，因而对场的空间分布不会发生影响。但是，衍射损耗与此不同，由于衍射损耗主要是发生在镜的边缘上，因而对场的空间分布恰恰发生重要影响，而且只要镜的横向尺寸是有限的，这一影响就会永远存在。为了简化分析，这里引入一理想化的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向同性的介质中。这样，决定衍射效应的孔径就由腔镜的边缘所构成。

考虑在上述开腔中往返传播的一列波。设初始时刻在镜Ⅰ上有场分布u1，则当波在腔中经第一次渡越而到达镜Ⅱ时，将在镜Ⅱ上生成一个新的场分布u2，场u2经第二次渡越后又将在镜Ⅰ上生成一个新的场u3。由于每经一次渡越，波都将因衍射而损失一部分能量，并引起能量横向分布的变化。因此，经一次往返后所获得的场u3不仅振幅小于u1，而且分布与u1不同。以后u3又转化为u4，u4再转化为u5……这一过程将反复进行下去。由于衍射主要发生在镜的边缘附近，因此在往返传播过程中，镜边缘附近的场衰减得更快。经多次衍射后所形成的场分布，其边缘振幅往往很小，这几乎是开腔模场分布的共同特征。但是，具有这种特征的场分布受衍射的影响也比较小。可以预期，在经过足够多次渡越后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布。这种稳态场经一次往返后，唯一可能的变化是，镜面上各点的振幅按同样比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时（对称开腔），这种场分布在腔内经单程渡越后即实现“再现”。我们把开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。

研究表明，开腔的自再现模确实存在。一方面，人们从理论上论证了自再现模的存在性，并用数值和解析方法求出了各种开腔的横模。另一方面，又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。

开腔的自再现模的解析求解是以对称共焦腔为研究对象，应用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式，先求得自再现模所满足的积分方程，然后分别设两反射镜为方形或圆形，求出镜面上的场分布。知道镜面上的场分布以后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式即可求出对称共焦腔中任意点的场。博伊德和戈登证明，对称共焦腔场可以解析地表示为（坐标原点选在腔的中心，对于方形镜）

式（1-96）、式（1-97）中各参数的意义如下：Ψ=arctan[（1-ξ）/（1+ξ）]，ξ=2z/L=z/f，f=L/2为腔镜的焦距；；Emn（x，y，z）表示TE Mmn模在腔内任意点（x，y，z）处的电场强度；E0为一个与坐标无关的常量；Amn为与模的级次有关的归一化常数；Hm（X）为m阶厄米多项式。

显然，Emn是由腔的一个镜面上的场所产生的、并沿着腔的轴线传播的行波场。只要我们考虑到输出镜的适当透射率，则式（1-96）不仅适用于腔内空间的场，而且对输出到腔外的场也同样是正确的。

4.对称共焦腔基模高斯光束的特征

（1）振幅分布和光斑尺寸

按照式（1-96），对称共焦场基模的振幅分布由式（1-98）决定，即

由此可见，共焦腔场基模的振幅在横截面内由高斯分布函数所描述，称为高斯光束。w（z）是z处定义在振幅的1/e处的基模光斑半径，腔中不同位置处的光斑大小各不相同，随坐标z按双曲线规律变化，如图1-12所示。在对称共焦腔中心（两镜面的公共焦点）z=0处，w（z）达到极小值

在共焦腔镜面上，z=±L/2=±f，则

通常将w0称为高斯光束的基模腰斑半径。

（2）模体积

定性地说，某一模式的体积描述该模式在腔内所扩展的空间范围。模体积越大，对该模式的振荡有贡献的激发态粒子数就越多，因此，也就可能获得大的输出功率；模体积小，则对振荡有贡献的激发态粒子数就少，输出功率也就小。一种模式能否振荡？能获得多大的输出功率？它与其他模式的竞争能力如何？所有这些不但与该模式的损耗高低有关，也与模体积的大小密切相关。基模往往集中在腔的轴线附近，模的阶次越高，横向分布的范围就越宽。

由于基模的光斑随z变化，因此，通常采用式（1-101）估计共焦腔基模的模体积，即

（3）等相位面分布

共焦腔的等相位面分布由式（1-96）中的相位函数Φ（x，y，z）描述。可以证明，共焦腔场中等相位面近似为球面，与腔轴在z0处相交的等相位面的曲率半径为

可见等相位面的曲率半径随坐标z0变化。当z0=±f=±L/2时，R（z0）=2f=L，表明共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重合。当z0=0时，R（z0）→∞，z0→∞时，R（z0）→∞，表明通过共焦腔中心的等相位面是与腔轴垂直的平面，距腔中心无限远处的等相位面也是平面。

不难证明，共焦腔反射镜面是共焦腔场中曲率最大的等相位面。共焦腔场中等相位面的分布如图1-13所示。

（4）远场发散角

由于共焦腔的基模光束按双曲线规律从腔的中心向外扩展，由此不难求得基模的远场发散角。该发散角（全角）定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角（见图1-12），且

相应的计算表明，包含在发散角内的功率占基模

光束总功率的86.5%，理论发散角具有毫弧度的量级。因此，当共焦激光器以TEM00模单模运转时，光束将具有优良的方向性。