2.2 光波在电光晶体中的传播

由2.1节的讨论，我们知道光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布的制约。理论和实验均证明：晶体介质的介电系数与晶体中的电荷分布有关，当晶体上施加电场之后，将引起束缚电荷的重新分布，并可能导致离子晶格的微小形变，其结果将引起介电系数的变化，最终导致晶体折射率的变化，所以折射率成为外加电场E的函数，这时晶体折射率的变化可用施加电场E的幂级数表示，即

式中，c1和c2为常量，n0为未加电场时的折射率。式（2-16）中第一项称为线性电光效应或泡克耳（Pockels）效应；第二项是电场的二次项，称为二次电光效应或克尔（Kerr）效应。对于大多数电光晶体材料，一次效应要比二次效应显著，可略去二次项（只有在具有对称中心的晶体中，因不存在一次电光效应，二次电光效应才比较明显），故在此只讨论线性电光效应。

2.2.1 电致折射率变化

对电光效应的分析和描述有两种方法：一种是电磁理论方法，但数学推导相当繁复；另一种是用几何图形——折射率椭球体的方法，这种方法直观、方便，故通常都采用这种方法。

在晶体未加外电场时，主轴坐标系中，折射率椭球由如下方程描述

式中，x、y、z为介质的主轴方向，也就是在晶体内沿着这些方向上的电位移D和电场强度E互相平行；nx，ny，nz为折射率椭球的主折射率。利用该方程可以描述光波在晶体中的传播特性。

当晶体施加电场后，其折射率椭球就发生“变形”，椭球方程变为

比较式（2-17）和式（2-18）可知，由于外电场的作用，折射率椭球各系数（1/n2）随之发生线性变化，其变化量可定义为

式中，γi j称为线性电光系数；i取值1，…，6；j取值1，2，3。式（2-19）可以用张量的矩阵形式表示为

式中，Ex，Ey，Ez是电场沿x，y，z方向的分量。具有γij元素的6×3矩阵称为电光张量，每个元素的值由具体的晶体决定，它是表征感应极化强弱的量。下面以常用的KDP（KH2PO4）晶体为例进行分析。KDP类晶体属于四方晶系，42m点群，是负单轴晶体，因此有nx=ny=no，nz=ne，no>ne（no为光子的折射率，ne为电子的折射率），这类晶体的电光张量元素只有γ41，γ52，γ63为非零，而且γ41=γ52。因此，式（2-20）可改写为

将式（2-21）代入式（2-18），便得到晶体加外电场E后新的折射率椭球方程式

由式（2-22）可看出，外加电场导致折射率椭球方程中“交叉”项的出现，这说明加电场后，椭球的主轴不再与x、y、z轴平行，因此，必须找出一个新的坐标系，使式（2-22）在该坐标系中主轴化，这样才可能确定电场对光传播的影响。为了简单起见，令外加电场的方向平行于z轴，即Ez=E，Ex=Ey=0，于是式（2-22）变成

为了寻求一个新的通常称为感应主轴坐标系（x'，y'，z'），使椭球方程不含交叉项，可将x坐标和y坐标绕z轴旋转α角，于是从旧坐标系到新坐标系的变换关系为

将式（2-24）代入式（2-23），可得

令交叉项为零，即cos2α=0，得α=45°，则方程式（2-25）变为

这就是KDP类晶体沿z轴加电场之后的椭球方程，如图2-4所示。其新椭球主轴的半长度分

别为。由于γ63很小（约10-10m/V），一般是，利用微分式dn，得到

由此可见，KDP晶体沿z轴加电场时，由单轴晶体变成了双轴晶体，折射率椭球的主轴绕z轴旋转了45°角，此转角与外加电场的大小无关，其折射率变化与电场成正比，这是利用电光效应实现光调制、调Q、锁模等技术的物理基础。

2.2.2 电光相位延迟

下面分析电光效应如何引起晶体中的传播光束的相位延迟。在实际应用中，电光晶体总是沿着相对光轴的某些特殊方向切割而成的，而且外电场也是沿着某一主轴方向加到晶体上，常用的有两种方式：一种是电场方向与光束在晶体中的传播方向一致，称为纵向电光效应；另一种是电场与光束在晶体中的传播方向垂直，称为横向电光效应。

1.纵向应用

仍以KDP类晶体为例进行分析，沿晶体z轴加电场后，其折射率椭球如图2-5所示。如果光波沿z方向传播，则其双折射特性取决于椭球与垂直于z轴的平面相交所形成的椭圆。在式（2-26）中，令z=0，得到该椭圆的方程为

这个椭圆的一个象限如图中的暗影部分所示。它的长、短半轴分别与x'和y'重合，x'和y'也就是两个分量的偏振方向，相应的折射率为nx'和ny'，由式（2-27）决定。

当一束线偏振光沿着z轴方向入射晶体，且E矢量沿x方向，进入晶体（z=0）后即分解为沿x'和y'方向的两个垂直偏振分量。由于两偏振分量的折射

率不同，则沿x'方向振动的光传播速度快，而沿y'方向振动的光传播速度慢，它们经过长度L的空间距离的光程分别为nx'L和ny'L，这样，两偏振分量的相位延迟分别为

因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差

式中，V=EzL是沿z轴加的电压。由以上分析可见，这个相位延迟完全是由电光效应造成的双折射引起的，所以称为电光相位延迟。当电光晶体和传播的光波长确定后，相位差的变化仅取决于外加电压，即只要改变电压，就能使相位成比例地变化。

在式（2-29）中，当光波的两个垂直分量Ex'，Ey'的光程差为半个波长（相应的相位差为π）时所需要加的电压，称为“半波电压”，通常以Vπ或Vλ/2。表示。由式（2-29）得到

于是

半波电压是表征电光晶体性能的一个重要参数，这个电压越小越好，特别是在宽频带高频率情况下，半波电压越小，需要的调制功率就越小。

晶体的半波电压是波长的函数。图2-6示出了一些磷酸盐晶体的半波电压Vπ与波长的关系。由图可见，在所测定的范围400～700nm内，这个关系是线性的。

根据上述分析可知，由于两个偏振分量间的相速度的差异，会使一个分量相对于另一个分量有一个相位差，而这个相位差的作用就会改变出射光束的偏振态。由物理光学已经知道，“波片”可作为光波偏振态的变换器，它对入射光偏振态的改变是由波片的厚度决定的。在一般情况下，出射的合成振动是一个椭圆偏振光，用数学式表示为

① 当晶体上未加电场时，Δφ=2nπ（n=0，1，2，…），则上面的方程简化为

这是一个直线方程，说明通过晶体后的合成光仍然是线偏振光，且与入射光的偏振方向一致，这种情况晶体相当于一个“全波片”的作用。

② 当晶体上加电场V=Vπ/2，Δφ=（n+1/2）π，式（2-32）可简化为

这是一个正椭圆方程，说明通过晶体的合成光为椭圆偏振光。当A1=A2时，其合成光就变成一个圆偏振光，相当于一个“1/4波片”的作用。

③ 当外加电场V=Vπ，Δφ=（n+1）π，式（2-32）可简化为

式（2-35）说明合成光又变成线偏振光，但偏振方向相对于入射光旋转了一个2θ角（若θ=45°，即旋转了90°，沿着y方向），晶体起到一个“半波片”的作用。

综上所述，设一束线偏振光垂直于x'y'面入射，且沿x轴方向振动，它刚进入晶体（x=0）即可分解为相互垂直的x'，y'两个偏振分量，传播距离L后

x'分量为

y'分量为

在晶体的出射面（L）处，两个分量间的相位差可由式（2-36）和式（2-37）中指数的差得到

图2-7示出了某瞬间Ex'（z）和Ey'（z）两个分量（为便于观察，将两垂直分量分开画出），也示出了沿传播路径上不同点处光场矢量的顶端扫描的轨迹，在z=0处，相位差Δφ=0，光场矢量是沿x方向的线偏振光；在e点处，Δφ=π/2，则合成光场矢量变为一顺时针旋转的圆偏振光；在i点处，Δφ=π，则合成光矢量变为沿着y方向的线偏振光，相对于入射偏振光旋转了90°。如果在晶体的输出端放置一个与入射光偏振方向相垂直的偏振器，当晶体上所加的电压在0～Vπ间变化时，从检偏器输出的光只是椭圆偏振光的y向分量，因而可以把偏振态的变化（偏振调制）变换成光强度的变化（强度调制）。可用于电光调制和光束扫描技术中。表2-3给出了一些常用的电光晶体材料及其物理性能。

2.横向应用

仍以KDP晶体为例，如果沿z向加电场，光束传播方向垂直于z轴并与y（或x）轴成45°角，这种运用方式一般采用45°-z切割晶体，如图2-8所示。

设光波垂直于x'-z平面入射，E矢量与z轴成45°角，进入晶体（y'=0）后即分解为沿x'和z方向的两个垂直偏振分量。相应的折射率分别为和nz=ne。传播距离L后

x'分量为

z分量为

两偏振分量的相位延迟分别为

因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差

式中，L为光波传播方向晶体的长度，d为外加电压方向（z向）的晶体宽度。由式（2-41）可见，在横向运用条件下，光波通过晶体后的相位差包括两项：第一项与外加电场无关，是由晶体本身自然双折射引起的；第二项即为电光效应相位延迟。

KDP晶体的横向运用也可以采用沿x或y方向加电场，光束在与之垂直的方向传播。这里不再一一介绍，请感兴趣的读者自行讨论。

比较KDP晶体的纵向应用和横向应用两种情况，可以得到如下两点结论：

第一，纵向应用时，存在自然双折射产生的固有相位延迟，它们和外加电场无关。表明在没有外加电场时，入射光的两个偏振分量通过晶后其偏振面已转过了一个角度，这对光调制器等应用不利，应设法消除。

第二，横向应用时，无论采用哪种方式，总的相位延迟不仅与所加电压成正比，而且与晶体的长宽比（L/d）有关。而纵向应用时相位差只和V=EzL有关。因此，增大L或减小d就可大大降低半波电压。例如，在z向加电场的横向应用中，由式（2-41）略去自然双折射的影响，求得半波电压为

可见（L/d）越小，Vπ就越小，这是横向应用的优点。